Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Kẻ \(HD\) vuông góc với \(AB\,\,\left( {D

Câu hỏi số 399776:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Kẻ \(HD\) vuông góc với \(AB\,\,\left( {D \in AB} \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(CD.\) Đường thẳng \(BI\) cắt \(AC\) tại \(K.\)

Chứng minh:

a) \(\Delta ADH \sim \Delta AHB.\)

b) \(AD.AB = HB.HC.\)

c) \(K\) là trung điểm của \(AC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399776

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ADH \sim \Delta AHB\) theo trường hợp đồng dạng góc – góc.

b) Chứng minh \(\Delta HBA \sim \Delta HAC\)\( \Rightarrow H{A^2} = HB.HC\) mà \(A{H^2} = AB.AD\) do \(\Delta ADH \sim \Delta AHB\) \( \Rightarrow AD.AB = HB.HC = A{H^2}\)

c) Do \(AK//HM\) nên áp dụng định lý Ta-let chứng minh \(\frac{{MH}}{{AK}} = \frac{{MH}}{{KC}} \Rightarrow AK = KC\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta ADH \sim \Delta AHB.\)

Xét \(\Delta ADH \) và \(\Delta {\rm{AHB}}\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ADH = \angle AHB\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle BAH\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ADH \sim \Delta AHB\,\,\,\left( {g - g} \right).\)

b) Chứng minh \(AD.AB = HB.HC.\)

Xét \(\Delta HBA \) và \(\Delta {\rm{HAC}}\) có:

\(\angle AHB = \angle CHA\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\angle BAH = \angle ACH\)(cùng phụ với \(\angle HAC\))

\( \Rightarrow \Delta HBA \sim \Delta HAC.\)

\( \Rightarrow \frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{HA}}{{HC}} \Rightarrow H{A^2} = HB.HC\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta ADH \sim \Delta AHB\)\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow A{H^2} = AB.AD\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AD.AB = HB.HC\)

c) Chứng minh \({\rm{K}}\) là trung điểm của \({\rm{AC}}\)

Gọi \(M\) là giao của \(DH\) với \(BK\)

Do \(AK//HM\) nên áp dụng định lý Ta-let ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{MH}}{{AK}} = \frac{{IH}}{{IA}}\\\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{AC}}\\\frac{{DH}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{BC}}\\\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{MH}}{{KC}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{MH}}{{AK}} = \frac{{MH}}{{KC}} \Rightarrow AK = KC\)

Vậy \(K\) là trung điểm \(AC.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link