Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AB < AC.\) Vẽ \(AH \bot BC\,\,\,\,\left( {H \in BC}

Câu hỏi số 399908:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AB < AC.\) Vẽ \(AH \bot BC\,\,\,\,\left( {H \in BC} \right).\)

a) Chứng minh: \(\Delta BHA \sim \Delta ABC.\)

b) Tính độ dài các cạnh \(BC\) và \(AH\) nếu \(AB = 9cm,\,\,\,AC = 12\,cm.\)

c) Trên cạnh \(HC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(HM = HA.\) Qua \(M\) vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh \(BC\) cắt \(AC\) tại \(I.\) Qua \(C\) vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh \(BC\) cắt tia phân giác của \(\angle IMC\) tại \(K.\) Chứng minh ba điểm \(H,\,\,I,\,\,K\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399908

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\) theo trường hợp đồng dạng góc – góc.

b) Sử dụng định lý Pytago để tính \(BC,\) sau đó sử dụng 2 cặp cạnh tương ứng tỷ lệ của 2 tam giác đồng dạng \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\) để tính \(AH.\)

c) Chứng minh \(\angle KIC + \angle HIC = {180^0}\) bằng cách chứng minh \(\angle KIC = \angle AIH\) do \(\Delta ICK \sim \Delta IAH\,\,\left( {c - g - c} \right).\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh: \(\Delta BHA \sim \Delta ABC.\)

Xét \(\Delta {\rm{HBA}}\) và \(\Delta {\rm{ABC}}\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AHB = \angle CAB\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle B\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta BHA \sim \Delta ABC\,\,\,\left( {g - g} \right).\)

b) Tính độ dài các cạnh \(BC\) và \(AH\) nếu \(AB = 9cm,\,\,\,AC = 12\,cm.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta {\rm{ABC}}\) vuông tại \(A\) có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225\\ \Rightarrow BC = 15\,\,cm.\end{array}\)

Vì \(\Delta BHA \sim \Delta ABC\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên ta có: \(\frac{{HA}}{{BA}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{HA}}{9} = \frac{{12}}{{15}}\)\( \Rightarrow HA = \frac{{9.12}}{{15}} = 7,2\,\,cm.\)

c) Trên cạnh \(HC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(HM = HA.\) Qua \(M\) vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh \(BC\) cắt \(AC\) tại \(I.\) Qua \(C\) vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh \(BC\) cắt tia phân giác của \(\angle IMC\) tại \(K.\) Chứng minh ba điểm \(H,\,\,I,\,\,K\) thẳng hàng.

Do \(IM \bot BC \Rightarrow \angle CMI = {90^0}\) mà \(MK\) là phân giác \(\angle IMC\) nên \(\angle KMC = {45^0}\)

\( \Rightarrow \)\({\rm{\Delta CKM}}\) vuông cân tại \(C\) mà \({\rm{\Delta HAM}}\) vuông cân tại \(H\)(vì \(HM = HA\))

\( \Rightarrow \Delta HAM \sim \Delta CKM\,\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{HA}}{{CK}} = \frac{{HM}}{{CM}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Mà \(\Delta ACH\)có \(IM//AH \Rightarrow \frac{{AI}}{{CI}} = \frac{{HM}}{{MC}}\) (định lý Ta-let).

\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{CI}} = \frac{{HA}}{{CK}}\)

Ta có: \(AH//CK \Rightarrow \angle HAI = \angle KCI\) (hai góc so le trong).

Xét \(\Delta {\rm{HAI}}\)và \(\Delta {\rm{KCI}}\) có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AI}}{{CI}} = \frac{{HA}}{{KC}}(cmt)\\\angle HAI = \angle KCI\,\,(cmt)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta HAI \sim \Delta KCI\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\)

\( \Rightarrow \angle AIH = \angle KIC\)\( \Rightarrow \angle KIC + \angle CIH = \angle AIH + \angle CIH = {180^0}\)

Do đó 3 điểm \(H,\,\,I,\,\,K\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link