Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {1 - x} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0,\,\,x

Câu hỏi số 400425:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {1 - x} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0,\,\,x \le 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Tìm \(a\) để hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) và tính đạo hàm tại điểm đó.

A. \(a = - \frac{1}{2} \,\,;\,\,y'\left ( 0 \right ) = - \frac{1}{8}\)

B. \(a = \frac{1}{2} \,\,;\,\,y'\left ( 0 \right ) = \frac{1}{16}\)

C. \(a = - 1 \,\,;\,\,y'\left ( 0 \right ) = - \frac{1}{8}\)

D. \(a = 1 \,\,;\,\,y'\left ( 0 \right ) = \frac{1}{8}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400425

Phương pháp giải

- Tìm \(a\) để hàm số liên tục tại \(x = 0\).

- Với giá trị \(a\) vừa tìm được, tính \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\), xét xem đạo hàm có tồn tại hay không (giới hạn có hữu hạn hay không).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;1} \right],\,\,x = 0 \in D\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 - x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - x} + 1}} = \frac{{ - 1}}{2}\\f\left( 0 \right) = a\end{array}\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}\).

Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {1 - x} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0,\,\,x \le 1\\\,\,\,\,\,\, - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sqrt {1 - x} - 1}}{x} + \frac{1}{2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {1 - x} - 2 + x}}{{2{x^2}}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\left( {1 - x} \right) - {{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{2{x^2}\left( {2\sqrt {1 - x} + 2 - x} \right)}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {x^2}}}{{2{x^2}\left( {2\sqrt {1 - x} + 2 - x} \right)}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 1}}{{2\left( {2\sqrt {1 - x} + 2 - x} \right)}} = \frac{{ - 1}}{8}
\end{array}\)

Vậy để hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) thì \(a = - \frac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.