Cho phương trình \(\log _2^2\left( {2x} \right) - \left( {m + 2} \right){\log _2}x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) là:

Câu 401657: Cho phương trình \(\log _2^2\left( {2x} \right) - \left( {m + 2} \right){\log _2}x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) là:

A. \(\left( {1;2} \right)\)

B. \(\left[ {1;2} \right]\)

C. \(\left[ {1;2} \right)\)

D. \(\left[ {2; + \infty } \right)\)

Câu hỏi : 401657

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai ẩn \({\log _2}x.\)

Đặt \({\log _2}x = t.\) Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn \(t.\)

Với \(x \in \left[ {1;\,\,2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)

Khi đó để phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc \(\left[ {1;\,\,2} \right]\) thì phương trình ẩn \(t\) phải có hai nghiệm phân biệt \(t \in \left[ {0;1} \right]\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} < 2\\{t_1}{t_2} \ge 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_1} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right..\)

Đáp án : C
(22) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điều kiện \(x > 0.\)

\(\begin{array}{l}\log _2^2\left( {2x} \right) - \left( {m + 2} \right){\log _2}x + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}2x} \right)^2} - \left( {m + 2} \right){\log _2}x + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)^2} - \left( {m + 2} \right){\log _2}x + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 1 + 2{\log _2}x + \log _2^2x - \left( {m + 2} \right){\log _2}x + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - m{\log _2}x + m - 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \({\log _2}x = t.\) Với \(x \in \left[ {1;\,\,2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - mt + m - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) với \(t \in \left[ {0;1} \right]\).

Ứng với mỗi giá trị của \(t \in \left[ {0;1} \right]\) cho 1 giá trị \(x \in \left[ {1;2} \right]\) \( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm thuộc \(\left[ {1;\,\,2} \right]\) \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt \(t \in \left[ {0;1} \right]\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} < 2\\{t_1}{t_2} \ge 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_1} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\m > 0\\m < 2\\m - 1 \ge 0\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 4 > 0\\0 < m < 2\\m \ge 1\\m - 1 - m + 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} > 0\\1 \le m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\1 \le m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2.\end{array}\)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.