Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của

Câu hỏi số 401659:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right).{e^x}\) là:

A. \( - \sin 2x + \cos 2x + C\)

B. \( - 2\sin 2x + \cos 2x + C\)

C. \( - 2\sin 2x - \cos 2x + C\)

D. \(2\sin 2x - \cos 2x + C\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401659

Phương pháp giải

Ta có: \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^x}\)

Từ đó ta tìm hàm số \(f\left( x \right){e^x}.\)

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right){e^x}.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^x}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right){e^x} = \left( {\cos 2x} \right)'\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} = - 2\sin 2x.\end{array}\)

Lại có: \(\int {f\left( x \right){e^x}dx} = \cos 2x\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos 2x = f\left( x \right){e^x} - \int {f'\left( x \right){e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \cos 2x = - 2\sin 2x - \int {f'\left( x \right){e^x}dx} + C\\ \Leftrightarrow \int {f'\left( x \right){e^x}dx = } - 2\sin 2x - \cos 2x + C.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.