Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Qua một tiêu điểm của

Câu hỏi số 402370:

Vận dụng

Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Qua một tiêu điểm của \(\left( E \right)\) dựng đường thẳng song song với trục \(Oy\) và cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\). Độ dài \(MN\) là

A. \(\frac{{64}}{5}\)

B. \(\frac{{36}}{5}\)

C. \(25\)

D. \(\frac{{25}}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402370

Phương pháp giải

+) Xác định tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\).

+) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với trục \(Oy\) và đi qua tiêu điểm.

+) Giải hệ phương trình để xác định tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( E \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 100\\{b^2} = 36\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow c = 8\)

\( \Rightarrow \) Elip \(\left( E \right)\) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( {8;\,\,0} \right),\,\,{F_2}\left( { - 8;\,\,0} \right)\).

Trục \(Oy:\) \(x = 0\)

Vì đường thẳng \(d\) song song với trục \(Oy\) nên phương trình tổng quát của \(d\) có dạng: \(x + c = 0\).

Mà đường thẳng đi qua tiêu điểm \({F_1}\left( {8;\,\,0} \right)\) nên ta có: \(8 + c = 0 \Rightarrow c = - 8\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là: \(x - 8 = 0\)

Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( E \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 8 = 0\\\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\\frac{{64}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\{y^2} = \frac{{324}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = \frac{{18}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = - \frac{{18}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( E \right)\) là \(\left( {8;\,\,\frac{{18}}{5}} \right),\,\,\left( {8;\,\, - \frac{{18}}{5}} \right)\).

\( \Rightarrow M\left( {8;\,\,\frac{{18}}{5}} \right),\,\,N\left( {8;\,\, - \frac{{18}}{5}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;\,\, - \frac{{36}}{5}} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - \frac{{36}}{5}} \right)}^2}} = \frac{{36}}{5}\)

Vậy \(MN = \frac{{36}}{5} \cdot \)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.