Giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y + m = 0\) cắt elip \(\left( E

Câu hỏi số 402372:

Vận dụng

Giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y + m = 0\) cắt elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) tại hai điểm phân biệt là:

A. \(m = \pm 2\sqrt 2 \)

B. \(m > 2\sqrt 2 \)

C. \(m < - 2\sqrt 2 \)

D. \( - 2\sqrt 2 < m < 2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402372

Phương pháp giải

Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,ax + by + c = 0\).

Tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( E \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\ax + by + c = 0\end{array} \right.\)

Sử dụng phương pháp thế để làm xuất hiện phương trình bậc hai từ đó xác định điều kiện để \(\left( d \right)\) và \(\left( E \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Giải chi tiết

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) và \(\left( E \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + m = 0\\\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - m\\\frac{{{{\left( {2y - m} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - m\\{\left( {2y - m} \right)^2} + 4{y^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - m\\8{y^2} - 4my + {m^2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 16{m^2} - 4.8.\left( {{m^2} - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 32{m^2} + 128 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} < 8\\ \Leftrightarrow - 2\sqrt 2 < m < 2\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy với \( - 2\sqrt 2 < m < 2\sqrt 2 \) thì đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y + m = 0\) cắt elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) tại hai điểm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.