Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

Câu hỏi số 402479:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết nó vuông góc với đường thẳng \(d:3y - x + 6 = 0\).

A. \(y = - 3x + 3;\,\,y = - 3x - 11.\)

B. \(y = - 3x - 3;\,\,y = 3x - 11.\)

C. \(y = - 3x - 3;\,\,y = - 3x - 11.\)

D. \(y = - 3x - 3;\,\,y = - 3x + 11.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402479

Phương pháp giải

- Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

- Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) vuông góc khi và chỉ khi \(a.a' = - 1\).

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\)

\( \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\).

Để phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:3y - x + 6 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}x - 2\) thì:

\(\begin{array}{l}k.\frac{1}{3} = - 1 \Leftrightarrow k = - 3\\ \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = - 3\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 2 = \frac{1}{2}\\{x_0} + 2 = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - \frac{3}{2}\\{x_0} = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Với \({x_0} = - \frac{3}{2}\) ta có \({y_0} = \frac{3}{2}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = - 3\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2} = - 3x - 3\).

Với \({x_0} = - \frac{5}{2}\) ta có \({y_0} = - \frac{7}{2}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{7}{2} = - 3x - 11\).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(y = - 3x - 3;\,\,y = - 3x - 11\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.