Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} + 7 = {2^{x + 3}} +

Câu hỏi số 402859:

Vận dụng

Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} + 7 = {2^{x + 3}} + {m^2} + 6m\)có nghiệm\(x \in \left( {1;3} \right)\). Chọn đáp án đúng.

A. \(S = - 35\)

B. \(S = 20\)

C. \(S = 25\)

D. \(S = - 21\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402859

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {2^x}\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\), cô lập \(m\), phương trình dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Phương trình có nghiệm khi \(m\) thuộc tập giá trị của hàm số trên khoảng giá trị của \(t\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^x} + 7 = {2^{x + 3}} + {m^2} + 6m\\ \Leftrightarrow {4^x} - {8.2^x} = {m^2} + 6m - 7\,\,\,\,\,(1)\end{array}\).

Đặt \({2^x} = t\), với \(x \in \left( {1;3} \right)\) thì \(t \in \left( {2;8} \right)\).

Phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 8t = {m^2} + 6m - 7\,\,\,\,(2)\) với \(t \in \left( {2;8} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 8t,\,\,t \in \left( {2;8} \right)\).

Ta có \(f'(t) = 2t - 8;\)\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in \left( {2;8} \right)\).

Lại có \(f(2) = - 12;\,\,f(4) = - 16;\,\,f(8) = 0.\)

Mà hàm \(f(t)\) xác định và liên tục trên \(t \in \left( {2;8} \right)\) nên \( - 16 \le f(t) < 0\).

Do đó phương trình (2) có nghiệm trên \(t \in \left( {2;8} \right)\)\( \Leftrightarrow - 16 \le {m^2} + 6m - 7 < 0 \Leftrightarrow - 7 < m < 1\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\). Vậy \(m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\). Do đó \(S = - 21\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.