Cho \(\int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {1 + x\ln x} \right) {\rm{d}}x} = a{{\rm{e}}^2} + b{\rm{e}} + c\) với \(a\),

Câu hỏi số 402860:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {1 + x\ln x} \right) {\rm{d}}x} = a{{\rm{e}}^2} + b{\rm{e}} + c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(a + b = c\)

B. \(a + b = - c\)

C. \(a - b = c\)

D. \(a - b = - c\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402860

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

- Dựa vào các đáp án để kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \(\int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {1 + x\ln x} \right) {\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_1^{\rm{e}} {{\rm{1}}{\rm{.d}}x} + \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x {\rm{d}}x} \)\( = {\rm{e}} - 1 + \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x {\rm{d}}x} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x \Rightarrow {\rm{d}}u = \dfrac{1}{x}{\rm{d}}x\\{\rm{d}}v = x.{\rm{d}}x \Rightarrow v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x {\rm{d}}x} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^e - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^{\rm{e}} {x\,{\rm{d}}x} \\ = \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \left. {\dfrac{1}{4}{x^2}} \right|_1^e = \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \dfrac{1}{4}.\end{array}\)

Suy ra \(\int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {1 + x\ln x} \right) {\rm{d}}x} = {\rm{e}} - 1 + \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + {\rm{e}} - \dfrac{3}{4}\)nên \(a = \dfrac{1}{4}\), \(b = 1\), \(c = - \dfrac{3}{4}\).

Vậy \(a - b = c\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.