Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn điều kiện: \(x.f\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 2}

Câu hỏi số 403534:

Vận dụng cao

Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn điều kiện: \(x.f\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 2} \right).f\left( x \right)\)

Chứng minh rằng đa thức \(f\left( x \right)\) có ít nhất hai nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403534

Phương pháp giải

Nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm đa thức có giá trị bằng 0.

Nếu \(f\left( a \right) = 0\) thì \(x = a\) là nghiệm của \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(x.f\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 2} \right).f\left( x \right)\) (1)

+) Thay \(x = 0\) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}0.f\left( {0 + 1} \right) = \left( {0 + 2} \right).f\left( 0 \right)\\ \Rightarrow 0 = 2.f\left( 0 \right)\\ \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0\end{array}\)

Do \(f\left( 0 \right) = 0\) \( \Rightarrow x = 0\) là nghiệm của \(f\left( x \right)\) (2)

+) Thay \(x = - 1\) vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l} - 1.f\left( { - 1 + 1} \right) = \left( { - 1 + 2} \right).f\left( { - 1} \right)\\ - 1.f\left( 0 \right) = 1.f\left( { - 1} \right)\\ \Rightarrow 0 = f\left( { - 1} \right)\,\,\,\,hay\,\,f\left( { - 1} \right) = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = - 1\) là nghiệm của \(f\left( x \right)\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra: Đa thức \(f\left( x \right)\) có ít nhất 2 nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link