Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), có góc \(A\) nhọn. Vẽ tia phân giác của góc \(BAC\)cắt \(BC\)

Câu hỏi số 404016:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), có góc \(A\) nhọn. Vẽ tia phân giác của góc \(BAC\)cắt \(BC\) tại \(K.\)

a) Chứng minh: \(\Delta ABK = \Delta ACK\) và \(AK \bot BC.\)

b) Vẽ trung tuyến \(BM\) của tam giác \(ABC\) cắt \(AK\) tại \(G.\) Chứng minh: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

c) Cho \(AB = 30cm,\,BK = 18cm.\) Tính độ dài \(AG.\)

d) Qua \(K\) vẽ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(BA\) tại \(D.\) Chứng minh ba điểm \(C,G,D\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404016

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác \(\Delta ABK = \Delta ACK\) (c.g.c) Rồi suy ra: \(AK \bot BC.\)

b) Chỉ ra \(AK\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\). \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến do đó \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

c) Tính \(AK\) dựa vào định lý \(Py - ta - go\). Vì \(AK\) là trung tuyến nên \(AG = \frac{2}{3}AK\). Suy ra \(AG.\)

d) Chứng minh \(D\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(CD\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AB\). Do đó: \(C,G,D\) là ba điểm thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABK\,\& \,\Delta ACK\) ta có:

\(\begin{array}{l}AB = AC\left( {gt} \right)\\\angle BAK = \angle CAK\left( {gt} \right)\\AK\,chung\end{array}\)

Do đó: \(\Delta ABK = \Delta ACK\) (c.g.c).

\( \Rightarrow \angle AKB = \angle AKC\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle AKB + \angle AKC = {180^0}\)

\( \Rightarrow \angle AKB = \angle AKC = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\).

\( \Rightarrow AK \bot BC\).

b) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AK\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

\(AK \cap BM = G\)

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

c) Cho \(AB = 30cm,\,BK = 18cm.\) Tính độ dài \(AG.\)

Xét \(\Delta ABK\) vuông tại \(K\). Ta có:

\(\begin{array}{l}A{K^2} = A{B^2} - B{K^2} = {30^2} - {18^2} = {24^2}\\ \Rightarrow AK = 24\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vì \(AK\) là trung tuyến \( \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AK = \frac{2}{3}.24 = 16\left( {cm} \right)\)

Vậy \(AG = 16\,cm.\)

d) Qua \(K\) vẽ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(BA\) tại \(D.\) Chứng minh ba điểm \(C,G,D\) thẳng hàng.

Ta có: \(DK//AC\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \angle DKA = \angle KAC\) (so le trong)

Mà \(\angle KAC = \angle KAB\)

\( \Rightarrow \angle DKA = \angle DAK\)

\( \Rightarrow \Delta ADK\) cân tại \(D\) do đó: \(DK = DA\) (1)

Tương tự:

Ta có: \(\angle DBC = \angle ACB\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\angle BKD = \angle ACB\) (đồng vị)

\( \Rightarrow \angle DBC = \angle BKD\)

Do đó: \(\Delta DBK\) cân tại \(D\).

\( \Rightarrow DB = DK\) (tính chất tam giác cân). (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\( \Rightarrow DB = DA\) hay \(D\) là trung điểm của \(AB\).

\( \Rightarrow CD\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Do đó: \(C,G,D\) là ba điểm thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link