Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \({y^2} = x\) và điểm

Câu hỏi số 404059:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \({y^2} = x\) và điểm \({\rm{I}}\left( {0;\,\,2} \right)\). Tìm độ dài đoạn \(MN\) biết \(M,\,\,N \in \left( P \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IM} = 4\overrightarrow {IN} \) và điểm \(M\) có tung độ âm.

A. \(MN = 81\)

B. \(MN = 3\)

C. \(MN = 9\)

D. \(MN = 27\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404059

Phương pháp giải

+) Gọi \(M\left( {{m^2};\,\,m} \right) \in \left( P \right)\), \(N\left( {{n^2};\,\,n} \right) \in \left( P \right)\)

+) Từ \(\overrightarrow {IM} = 4\overrightarrow {IN} \) để tìm \(m,\,\,n\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {{m^2};\,\,m} \right) \in \left( P \right)\) với \(m < 0\) và \(N\left( {{n^2};\,\,n} \right) \in \left( P \right)\).

Ta có: \(I\left( {0;\,\,2} \right)\), \(M\left( {{m^2};\,\,m} \right)\), \(N\left( {{n^2};\,\,n} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {{m^2};\,\,m - 2} \right),\,\,\overrightarrow {IN} = \left( {{n^2};\,\,n - 2} \right)\)

Theo bài ra, \(\overrightarrow {IM} = 4\overrightarrow {IN} \) suy ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4{n^2}\\m - 2 = 4.\left( {n - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4{n^2}\\m - 2 = 4n - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4{n^2}\\m - 4n = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4{n^2}\\m = 4n - 6\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {4n - 6} \right)^2} = 4{n^2}\\m = 4n - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{n^2} - 48n + 36 = 4{n^2}\\m = 4n - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{n^2} - 48n + 36 = 0\\m = 4n - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}n = 3\\n = 1\end{array} \right.\\m = 4n - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}n = 3\\m = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Chọn \(m = - 2\) và \(n = 1\).

\( \Rightarrow M\left( {4;\, - 2} \right)\) và \(N\left( {1;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}} = \sqrt {9 + 9} = \sqrt {81} = 9\)

Vậy \(MN = 9\).

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.