Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \({y^2} = x\) và điểm

Câu hỏi số 404059:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \({y^2} = x\) và điểm \({\rm{I}}\left( {0;\,\,2} \right)\). Tìm độ dài đoạn \(MN\) biết \(M,\,\,N \in \left( P \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IM} = 4\overrightarrow {IN} \) và điểm \(M\) có tung độ âm.

A. \(MN = 81\)

B. \(MN = 3\)

C. \(MN = 9\)

D. \(MN = 27\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

+) Gọi \(M\left( {{m^2};\,\,m} \right) \in \left( P \right)\), \(N\left( {{n^2};\,\,n} \right) \in \left( P \right)\)

+) Từ \(\overrightarrow {IM} = 4\overrightarrow {IN} \) để tìm \(m,\,\,n\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {{m^2};\,\,m} \right) \in \left( P \right)\) với \(m < 0\) và \(N\left( {{n^2};\,\,n} \right) \in \left( P \right)\).

Ta có: \(I\left( {0;\,\,2} \right)\), \(M\left( {{m^2};\,\,m} \right)\), \(N\left( {{n^2};\,\,n} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {{m^2};\,\,m - 2} \right),\,\,\overrightarrow {IN} = \left( {{n^2};\,\,n - 2} \right)\)

Theo bài ra, \(\overrightarrow {IM} = 4\overrightarrow {IN} \) suy ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4{n^2}\\m - 2 = 4.\left( {n - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4{n^2}\\m - 2 = 4n - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4{n^2}\\m - 4n = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4{n^2}\\m = 4n - 6\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {4n - 6} \right)^2} = 4{n^2}\\m = 4n - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{n^2} - 48n + 36 = 4{n^2}\\m = 4n - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{n^2} - 48n + 36 = 0\\m = 4n - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}n = 3\\n = 1\end{array} \right.\\m = 4n - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}n = 3\\m = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Chọn \(m = - 2\) và \(n = 1\).

\( \Rightarrow M\left( {4;\, - 2} \right)\) và \(N\left( {1;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}} = \sqrt {9 + 9} = \sqrt {81} = 9\)

Vậy \(MN = 9\).

Chọn C

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:404059

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.