Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \dfrac{a}{b}\ln a - c\), trong đó \(a,b\) là các

Câu hỏi số 404317:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \dfrac{a}{b}\ln a - c\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên tố, c là số nguyên dương. Tính \(T = a + b + c.\)

A. \(T = 27.\)

B. \(T = 35.\)

C. \(T = 23.\)

D. \(T = 11.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404317

Phương pháp giải

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = {x^2} + 1\), sau đó sử dụng phương pháp từng phân.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính T.

Giải chi tiết

Ta có \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} \)

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 4 \Rightarrow t = 17\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^{17} {\ln tdt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\left( {\left. {t.\ln t} \right|_1^{17} - \int\limits_1^{17} {t.\dfrac{1}{t}dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \int\limits_1^{17} {dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \left( {17 - 1} \right)} \right)\\ \Rightarrow I = \dfrac{{17}}{2}\ln 17 - 8\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 17,\,\,b = 2,\,\,c = - 8\).

Vậy \(T = a + b + c = 17 + 2 + \left( { - 8} \right) = 11.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.