Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 0,\,\,{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{2}{u_n} +

Câu hỏi số 404605:

Vận dụng cao

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 0,\,\,{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{2}{u_n} + 4\,\,\left( {n \ge 1} \right)\).

a) Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

b) Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404605

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{2}{u_n} + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}{u_{n - 1}} + 4} \right) + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}{u_{n - 1}} + \dfrac{1}{2}.4 + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\left( {\dfrac{1}{2}{u_{n - 2}} + 4} \right) + \dfrac{1}{2}.4 + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3}{u_{n - 2}} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}.4 + \dfrac{1}{2}.4 + 4\\....\\{u_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n}{u_1} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.4 + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 2}}.4 + ... + \dfrac{1}{2}.4 + 4\\{u_{n + 1}} = 4\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 2}} + ... + \dfrac{1}{2} + 1} \right]\\{u_{n + 1}} = 4.\dfrac{{1.\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right)}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 8\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right)\\ \Rightarrow {u_n} = 8\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)\end{array}\)

Ta có: \(1 - \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} < 1 \Rightarrow {u_n} < 8\). Do đó dãy số bị chặn trên bởi 8.

\({2^{n - 1}} \ge {2^0} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \le 1\) \( \Rightarrow - \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \ge - 1 \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \ge 0\)\( \Rightarrow {u_n} \ge 0\), do đó dãy số bị chặn dưới bởi 0.

Vậy dãy số \({u_n}\) là dãy bị chặn.

b) Xét hiệu

\(\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n}\\H = 8\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right) - 8\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)\\H = 8\left( {\dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} - \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right)\\H = 8.\dfrac{{2 - 1}}{{{2^n}}} = \dfrac{8}{{{2^n}}} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\).

Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.