Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác

c) HK\( \bot \)(SBC).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404632

Phương pháp giải

a) Gọi AM là đường cao của tam giác ABC, chứng minh SM cũng là đường cao của tam giác SBC.

b) Để chứng minh (SAB) \( \bot \)(CHK) ta chứng minh \(CH \bot \left( {SAB} \right)\). Để chứng minh (SBC) \( \bot \) (CHK) ta chứng minh \(SB \bot \left( {CHK} \right)\).

c) Chứng minh \(HK \bot SB\) và \(HK \bot SC\).

Giải chi tiết

a) Gọi AM là đường cao của tam giác ABC \( \Rightarrow H \in AM\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAM} \right)\\SM \subset \left( {SAM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SM\).

Suy ra SM là đường cao của tam giác SBC \( \Rightarrow K \in SM\).

Vậy AH, SK, BC đồng quy tại M.

b) Vì H là trực tâm tam giác ABC \( \Rightarrow CH \bot AB\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {SAB} \right)\)

+) \(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot \left( {SAB} \right)\\CH \subset \left( {CHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {CHK} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot SB\)

Vì K là trực tâm của tam giác SBC \( \Rightarrow CK \bot SB\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}SB \bot CH\\SB \bot CK\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {CHK} \right)\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}SB \bot \left( {CHK} \right)\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {CHK} \right)\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB \bot \left( {CHK} \right)\\HK \subset \left( {CHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot SB\,\,\,\left( 1 \right)\).

Nối BH. Vì H là trực tâm tam giác ABC \( \Rightarrow BH \bot AC\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right)\)

+) \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot \left( {SAC} \right)\\SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot SC\).

Vì K là trực tâm của tam giác SBC \( \Rightarrow BK \bot SC\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot SC\\BK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right)\)

+) \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot \left( {BHK} \right)\\HK \subset \left( {BHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot SC\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SB\\HK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)\) (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.