Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên (SAD) là tam giác cân tại S và nằm trong

Câu hỏi số 404634:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên (SAD) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh (SBP)\( \bot \)(AMN).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404634

Phương pháp giải

- Gọi H là trung điểm của AD, chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\), sử dụng hệ quả: Nếu (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng d nào trong (P) mà vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc (Q): \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right) = \Delta \\d \subset \left( P \right)\\d \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( Q \right)\)

- Gọi \(I = AN \cap BH\), chứng minh \(MI \bot \left( {ABCD} \right)\). Từ đó chứng minh \(BP \bot MI\)

- Chứng minh \(BP \bot AN\).

Giải chi tiết

+) Gọi H là trung điểm của AD. Vì tam giác SAD cân tại S nên \(SH \bot AD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCC} \right)\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\SH \subset \left( {SAD} \right),\,\,SH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(I = BH \cap AN\).

Xét tứ giác ABNH có \(\left\{ \begin{array}{l}AH = BN\\AH\parallel BN\\\angle HAB = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow AHBN\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow I\) là trung điểm của BH.

\( \Rightarrow MI\) là đường trung bình của tam giác SBH \( \Rightarrow MI\parallel SH\).

Mà \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MI \bot \left( {ABCD} \right)\\BP \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MI \bot BP\,\,\left( 1 \right)\).

+) Trong (ABCD) gọi \(E = AN \cap BP\).

Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta BCP\) có:

\(\begin{array}{l}AB = BC\\BN = CP\\\angle ABN = \angle BCP = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABN = \Delta BCP\) (2 cạnh góc vuông).

\( \Rightarrow \angle ANB = \angle BPC\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\angle BPC + \angle EBN = {90^0}\) (do tam giác BCP vuông tại C)

\( \Rightarrow \angle ANB + \angle EBN = {90^0}\) \( \Rightarrow \Delta BEN\) vuông tại E hay \(AN \bot BP\) (2).

+ Từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MI \bot BP\\AN \bot BP\end{array} \right. \Rightarrow BP \bot \left( {AMN} \right)\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}BP \bot \left( {AMN} \right)\\BP \subset \left( {SBP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBP} \right) \bot \left( {AMN} \right)\) (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.