Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6cm,\,\,AC = 8cm.\) Đường cao \(AH\) và đường phân giác

Câu hỏi số 404756:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6cm,\,\,AC = 8cm.\) Đường cao \(AH\) và đường phân giác \(BD\)cắt nhau tại \(I\) \(\left( {H \in BC,\,\,\,D \in AC} \right).\)

a) Chứng minh \(\Delta ABC\sim\Delta HBA.\) Suy ra \(A{B^2} = BH.BC\)

b) Chứng minh \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{AD}}{{CD}}.\)

c) Tính diện tích tam giác \(BCD.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404756

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta BHA\sim\Delta BAC\) qua trường hợp đồng dạng góc – góc \( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}} \Rightarrow B{A^2} = BC.BH\)

b) Sử dụng tính chất phân giác góc \(B\) có \(\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{IH}}{{IA}}\)

c) Tính \(BC\) sau đó dùng tính chất dãy tỷ số bằng nhau có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} \Rightarrow CD\)

\( \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}.AB.CD.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta ABC\sim\Delta HBA.\) Suy ra \(A{B^2} = BH.BC\)

Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AHB = \angle CAB\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle B\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta HBA\sim\Delta ABC\,\,(g - g)\)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}} \Rightarrow B{A^2} = BC.BH\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

b) Chứng minh \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{AD}}{{CD}}.\)

Do \(BD\) là phân giác góc \(B\) nên theo tính chất tia phân giác ta có: \(\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{BC}}\); \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{BA}}\)

Mà \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}}\)(câu a) \( \Rightarrow \frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{AD}}{{CD}}\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

c) Tính diện tích tam giác \(BCD.\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên áp dụng định lý Pitago ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\)\( \Rightarrow BC = 10\,\,cm.\)

Ta có \(\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{BC}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{6} = \frac{{CD}}{{10}} = \frac{8}{{6 + 10}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow CD = \frac{1}{2}.10 = 5\,\,cm\)

\( \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}.AB.CD = \frac{1}{2}.6.5 = 15\,\,c{m^2}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link