Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) , có \(AB = 9cm,\,BC = 15cm.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm

Câu hỏi số 405322:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) , có \(AB = 9cm,\,BC = 15cm.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(BE.\)

a) Tính độ dài cạnh \(AC\) và so sánh các góc của tam giác \(ABC\).

b) Chứng minh rằng hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(AEC\) bằng nhau.

c) Vẽ đường trung tuyến \(BH\) của tam giác \(BEC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(M.\) Chứng minh \(M\) là trọng tâm của tam giác \(BEC\) và tính độ dài đoạn \(CM.\)

d) Từ \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(EC\), đường thẳng này cắt cạnh \(BC\) tại \(K\). Chứng minh rằng ba điểm \(E,M,K\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405322

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lý Py-ta-go cho \(\Delta ABC\) để tính độ dài cạnh \(AC.\) Sau khi tính được độ dài cạnh \(AC\), dựa vào mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác để so sánh số đo góc của ba góc trong \(\Delta ABC\).

Chú ý: Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.

b) Chỉ ra \(\Delta ABC = \Delta AEC\left( {c.g.c} \right)\).

c) Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của ít nhất hai đường trung tuyến của tam giác đó. Dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác để tính cạnh \(CM.\)

d) Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(BC\).

Do đó \(EK\) là đường trung tuyến của \(\Delta BEC\)

\( \Rightarrow E,M,K\) là ba điểm thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Tính độ dài cạnh \(AC\) và so sánh các góc của tam giác \(ABC\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lý Py-ta-go)

\( \Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {15^2} - {9^2} = {12^2}\)

\( \Rightarrow AC = 12\left( {cm} \right)\).

Ta có: \(AB < AC < BC \Rightarrow \angle C < \angle B < \,\angle A\) (mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AEC\) có:

\(AE = AB\) (do \(A\) là trung điểm của \(BE.\))

\(\angle EAC = \angle BAC = {90^0}\left( {gt} \right)\)

Cạnh \(AC\) chung.

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta AEC\left( {c.g.c} \right)\)

c) Trong tam giác \(BEC\) ta có:

\(AE = AB\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow CA\) là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(C\).

\(BH\) cũng là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(B\) của \(\Delta BEC\)

Mà \(CA \cap BH = M\)

Do đó: \(M\) là trọng tâm của \(\Delta BEC\).

\( \Rightarrow CM = \frac{2}{3}CA = \frac{2}{3} \times 12 = 8\left( {cm} \right)\) (tính chất trọng tâm của tam giác).

d) Từ \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(EC\), đường thẳng này cắt cạnh \(BC\) tại \(K\). Chứng minh rằng ba điểm \(E,M,K\) thẳng hàng.

Ta có: \(AK//EC\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle CAK\) (so le trong)

Mà \(\angle ACE = \angle ACK\) (do \(\Delta ABC = \Delta AEC\left( {c.g.c} \right)\)).

\( \Rightarrow \angle CAK = \angle ACK\)

Do đó: \(\Delta AKC\) cân tại \(K\).

\( \Rightarrow CK = AK\) (tính chất tam giác cân). (1)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\angle ACK + \angle B = {90^0}\\\angle CAK + \angle KAB = {90^0}\end{array}\)

Mà \(\angle ACK = \angle CAK\left( {cmt} \right)\)

Nên \(\angle B = \angle KAB\)

Do đó: \(\Delta KAB\) cân tại \(K.\)

\( \Rightarrow AK = BK\) (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(CK = BK\)

\( \Rightarrow K\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow EK\) là đường trung tuyến của \(\Delta EBC\)

Do đó: \(E,M,K\) là ba điểm thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link