Cho \(M\) là một điểm thuộc parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 64x\), \(N\) là một điểm thuộc

Câu hỏi số 405443:

Vận dụng

Cho \(M\) là một điểm thuộc parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 64x\), \(N\) là một điểm thuộc đường thẳng \(\left( \Delta \right):4x + 3y + 46 = 0\). Tọa độ của \(M,\,\,N\) để đoạn \(MN\) ngắn nhất là

A. \(M\left( {9;24} \right)\) và \(N\left( {\frac{{37}}{5};\,\, - \frac{{126}}{5}} \right)\)

B. \(M\left( {9; - 24} \right)\) và \(N\left( {\frac{{37}}{5};\,\, - \frac{{126}}{5}} \right)\)

C. \(M\left( {9;24} \right)\) và \(N\left( {\frac{{37}}{5};\,\,\frac{{126}}{5}} \right)\)

D. \(M\left( { - 9; - 24} \right)\) và \(N\left( { - \frac{{37}}{5};\,\, - \frac{{126}}{5}} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Khoảng cách \(MN\) ngắn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là ngắn nhất.

Viết phương trình qua \(M\) vuông góc với \(\left( \Delta \right)\) để tìm tọa độ điểm \(M\).

Giải chi tiết

Giả sử \(M\left( {{x_M};\,{y_M}} \right) \in \left( P \right):{y^2} = 64x\).

\( \Rightarrow M\left( {\frac{{y_M^2}}{{64}};\,\,{y_M}} \right)\)

\(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot \frac{{y_M^2}}{{64}} + 3{y_M} + 46} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\)\( = \frac{1}{{80}}\left[ {{{\left( {{y_M} + 24} \right)}^2} + 160} \right] \ge 2\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \({y_M} + 24 = 0\)\( \Leftrightarrow {y_M} = - 24,\,\,{x_M} = \frac{{y_M^2}}{{64}} = 9\)

Vậy \(M\left( {9;\,\, - 24} \right)\).

Phương trình đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(\left( \Delta \right)\) là: \(3x - 4y - 123 = 0\)

Tọa độ của điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y - 123 = 0\\4x + 3y + 46 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{37}}{5}\\y = - \frac{{126}}{5}\end{array} \right.\)

Vậy \(N\left( {\frac{{37}}{5};\,\, - \frac{{126}}{5}} \right)\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:405443

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.