Qua tiêu điểm \(F\) của parabol \(\left( P \right)\), vẽ một đường thẳng \(d\) thay đổi cắt

Câu hỏi số 405444:

Vận dụng

Qua tiêu điểm \(F\) của parabol \(\left( P \right)\), vẽ một đường thẳng \(d\) thay đổi cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\). Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là:

A. \({y^2} = p\left( {\frac{x}{2} - p} \right)\)

B. \({y^2} = p\left( {x + \frac{p}{2}} \right)\)

C. \({y^2} = p\left( { - x + \frac{p}{2}} \right)\)

D. \({y^2} = p\left( {x - \frac{p}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Gọi \(\left( P \right):{y^2} = 2px\) và \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{p}{2} + at\\y = t\end{array} \right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét để tìm tập hợp trung điểm \(M\) của \(AB\)

Giải chi tiết

Gọi \(\left( P \right):{y^2} = 2px\) phương trình của \(d\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{p}{2} + at\\y = t\end{array} \right.\)

Các giao điểm của \(A\) và \(B\) ứng với các giá trị \(t\) là nghiệm của phương trình:

\({t^2} = 2p\left( {\frac{p}{2} + at} \right)\) hay \({t^2} - 2pat - {p^2} = 0\).

Trung điểm \(M\) của \(AB\) ứng với giá trị \(t = \frac{{{t_1} + {t_2}}}{2} = pa\) là \({x_M} = \frac{p}{2} + p{\left( {\frac{{{y_M}}}{2}} \right)^2}\)\( \Rightarrow y_M^2 = p\left( {{x_M} - \frac{p}{2}} \right)\)

Tập hợp trung điểm \(M\) của \(AB\) là parabol có phương trình \(y_M^2 = p\left( {{x_M} - \frac{p}{2}} \right)\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:405444

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.