Cho x, y, z thảo mãn x2 + y2 ≤ xz + yz - 2xy Tìm giá trị nhỏ nhất của p =(x4 + y4 + z4)( )

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 40566:

Cho x, y, z thảo mãn x²+ y²≤ xz + yz - 2xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của p =(x⁴ + y⁴ + z⁴)( $\frac{1}{4x^{4}}+ \frac{1}{4y^{4}}+ \frac{1}{4z^{4}} \right$ )

A. $\frac{81}{5}$

B. $\frac{81}{8}$

C. $\frac{83}{8}$

D. $\frac{81}{7}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40566

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương và bất đẳng thức:

a² + b² ≥ $\frac{(a+b)^{2}}{2}$

Ta có: $P\geq \left ( \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2} +z^{4}\right )\left ( \frac{1}{2x^{2}y^{2}}+\frac{1}{z^{4}} \right )\geq \left ( \frac{(x+y)^{4}}{8}+z^{4}\right )\left ( \frac{8}{(x+y)^{4}}+\frac{1}{z^{4}} \right )$

Đặt t = $\frac{(x+y)^{4}}{z^{4}}$ => 0 < t ≤ 1

. Khi đó ta có: $P\geq \left ( \frac{t}{8}+1 \right )\left ( \frac{8}{t}+1 \right )=2+\frac{t}{8}+\frac{8}{t}$

Xét hàm số: f(t)= $2+\frac{t}{8}+\frac{8}{t}\Rightarrow f'(t)=\frac{1}{8}-\frac{8}{t^{2}}<0, \forall t\in (0;1]$

Ta có f(x) nghịch biến trên (0;1] $\Rightarrow \min_{t\in (0;1]}P=f(1)=\frac{81}{8}$

Khi đó x=y= $\frac{z}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.