Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông, các cạnh bên bằng a và tạo với đáy

Câu hỏi số 406015:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông, các cạnh bên bằng a và tạo với đáy góc 60°. Tính góc giữa :

a) (SBC) và (ABCD)

b) (SAD) và (SBC)

c) (SBC) và (SCD).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406015

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

+ Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

+ OA là hình chiếu của SA lên (ABCD) \( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA;OA} \right) = \angle SAO = {60^0}\).

+ Tương tự: \(\angle SBO = \angle SCO = \angle SDO = {60^0}\).

a) (SBC) và (ABCD)

Gọi M là trung điểm của BC \( \Rightarrow OM\) là đường trung bình của tam giác ABC.

+ Tam giác SBC cân tại S \( \Rightarrow SM \bot BC\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right);\,\,SM \bot BC\\OM \bot \left( {ABCD} \right);\,\,OM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right] = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO\).

+ Xét tam giác vuông SAO: \(OA = SA.\cos {60^0} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow AC = a\), \(SO = SA.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ ABCD là hình vuông có \(AC = a \Rightarrow AB = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

+ Xét tam giác ABC: \(OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}\).

+ Xét tam giác vuông SOM: \(\tan \angle SMO = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}:\dfrac{a}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 6 \).

\( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right] = \arctan \sqrt 6 \).

b) (SAD) và (SBC)

+ Xét (SBC) và (SAD) có: S chung, BC // AD nên cắt nhau theo giao tuyến Sx // BC // AD.

+ \(SM \bot BC,\,\,BC\parallel Sx \Rightarrow SM \bot Sx\).

+ Tam giác SAD cân tại S \( \Rightarrow SN \bot AD,\,\,AD\parallel Sx \Rightarrow SN \bot Sx\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Sx\\SM \subset \left( {SBC} \right);\,\,SM \bot Sx\\SN \subset \left( {SAD} \right);\,\,SN \bot Sx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SAD} \right)} \right] = \angle \left( {SM;SN} \right)\).

+ Tam giác SBC: \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{8}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{4} = SN\)

+ Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SMN: \(\cos \angle MSN = \dfrac{{S{M^2} + S{N^2} - M{N^2}}}{{2SM.SN}} = \dfrac{5}{7}\) \( \Rightarrow \angle MSN = \arccos \dfrac{5}{7}\).

Vậy \(\angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SAD} \right)} \right] = \arccos \dfrac{1}{3}\).

c) (SBC) và (SCD).

Kẻ \(BK \bot SC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\).

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SC\\BK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BDK} \right) \Rightarrow SC \bot DK\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\BK \subset \left( {SBC} \right);\,\,BK \bot SC\\DK \subset \left( {SCD} \right);\,\,DK \bot SC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right] = \angle \left( {BK;DK} \right)\).

+ Ta có: \(SM.BC = BK.SC \Rightarrow BK = \dfrac{{SM.BC}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {14} }}{4}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{4} = DK\)

+ Áp dụng định lí Cosin trong tam giác BKD:

\(\cos \angle BKD = \dfrac{{B{K^2} + D{K^2} - B{D^2}}}{{2BK.DK}} = \dfrac{{\dfrac{{7{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{7{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{7{a^2}}}{{16}}}} = - \dfrac{1}{7}\).

Vậy \(\angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right] = \arccos \dfrac{1}{7}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.