Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, BD = a. Cạnh SC vuông góc với đáy, \(SC
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, BD = a. Cạnh SC vuông góc với đáy, \(SC = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Tính góc giữa (SAB) và (SAD).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
+ Xét \(\Delta SCB\) và \(\Delta SCD\) có:
SC chung;
BC = DC (do ABCD là hình thoi).
\(\angle SCB = \angle SCD = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta SCB = \Delta SCD\) (2 cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow SB = SD\).
+ Xét \(\Delta SAB\) và \(\Delta SAD\) có:
SA chung
AB = AD (do ABCD là hình thoi)
SB = SD (cmt)
\( \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle SAB = \angle SAD\).
Trong (SAB) kẻ \(BK \bot SA\,\,\left( {K \in SA} \right)\).
+ Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta ADK\) có:
AK chung
\(\angle SAB = \angle SAD\,\,\left( {cmt} \right)\)
AB = AD (do ABCD là hình thoi)
\( \Rightarrow \Delta ABK = \Delta ADK\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\).
\( \Rightarrow \angle AKB = \angle AKD = {90^0}\) và \(BK = DK\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\\BK \subset \left( {SAB} \right);\,\,BK \bot SA\\DK \subset \left( {SAD} \right);\,\,DK \bot SA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAB} \right);\left( {SAD} \right)} \right] = \angle \left( {BK;DK} \right)\).
+ Tam giác ABD có AB = AD = BD = a \( \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh a \( \Rightarrow AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \).
+ Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông:
\(\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{C^2} + B{C^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{2} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\\SA = \sqrt {S{C^2} + A{C^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{2} + 3{a^2}} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
+ Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SAB có: \(\cos \angle ASB = \dfrac{{S{A^2} + S{B^2} - A{B^2}}}{{2SA.SB}} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\( \Rightarrow \sin \angle ASB = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\).
+ Xét tam giác vuông SBK: \(BK = SB.\sin \angle ASB = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = DK\).
+ Áp dụng định lí Cosin trong tam giác BDK có:
\(\cos \angle BKD = \dfrac{{B{K^2} + D{K^2} - B{D^2}}}{{2BK.DK}} = 0 \Rightarrow \angle BKD = {90^0}\).
Vậy \(\angle \left[ {\left( {SAB} \right);\left( {SAD} \right)} \right] = {90^0}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
