Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh cùng bằng a. Gọi I là trung điểm BC.

Câu hỏi số 406017:

Vận dụng

a) Chứng minh \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {A'AI} \right)\).

b) Tính góc giữa (A'BC) và (ABC).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406017

Phương pháp giải

a) Hai mặt phẳng vuông góc khi mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {A'AI} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( {ABC} \right)\\AA' \subset \left( {A'AI} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {A'AI} \right)\).

b) Tính góc giữa (A'BC) và (ABC).

+ Xét \(\Delta A'AB\) và \(\Delta A'AC\) có:

\(AA'\) chung;

\(AB = AC\,\,\left( {gt} \right)\)

\(\angle A'AB = \angle A'AC = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta A'AB = \Delta A'AC\) (2 cạnh góc vuông) \( \Rightarrow A'B = A'C\) (2 cạnh tương ứng).

Mà I là trung điểm của BC \( \Rightarrow A'I \bot BC\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AI \subset \left( {A'BC} \right);\,\,A'I \bot BC\\AI \subset \left( {ABC} \right);\,\,AI \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = \angle \left( {A'I;AI} \right) = \angle A'IA\).

+ Tam giác ABC đều cạnh a \( \Rightarrow AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ Xét tam giác A’AI: \(\tan \angle A'IA = \dfrac{{AA'}}{{AI}} = a:\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy \(\angle \left[ {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = \arctan \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.