Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Tính góc giữa (BA'C) và (DA’C).

Câu hỏi số 406018:

Vận dụng

A. \(90^o\)

B. \(45^o\)

C. \(30^o\)

D. \(60^o\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406018

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

+ Xét tam giác BA’C và tam giác DA’C có:

BC = DC = a,

\(BA' = DA' = a\sqrt 2 \) (do ABB’A’ và ADD’A’ là các hình vuông cạnh a)

A’C chung

\( \Rightarrow \Delta BA'C = \Delta DA'C\,\,\,\left( {c.c.c} \right)\).

\( \Rightarrow \angle BCA' = \angle DCA'\).

+ Trong (BA’C) kẻ \(BM \bot A'C\,\,\left( {M \in A'C} \right)\).

+ Xét \(\Delta BCM\) và \(\Delta DCM\) có:

BC = DC

\(\angle BCA' = \angle DCA'\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

MC chung

\( \Rightarrow \Delta BCM = \Delta DCM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle BMC = \angle DMC = {90^0}\) và \(BM = DM\).

\( \Rightarrow DM \bot A'C\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BA'C} \right) \cap \left( {DA'C} \right)\\BM \subset \left( {BA'C} \right);\,\,BM \bot A'C\\DM \subset \left( {DA'C} \right);\,\,DM \bot A'C\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {BA'C} \right);\left( {DA'C} \right)} \right] = \angle \left( {BM;DM} \right)\).

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow BC \bot A'B\) \( \Rightarrow \Delta BA'C\) vuông tại B.

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông A’BC có: \(BM = \dfrac{{A'B.BC}}{{\sqrt {A'{B^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = DM\).

+ Áp dụng định lí Cosin trong tam giác BDM có:

\(\cos \angle BMD = \dfrac{{B{M^2} + D{M^2} - B{D^2}}}{{2BM.DM}} = \dfrac{{\dfrac{{2{a^2}}}{3} + \dfrac{{2{a^2}}}{3} - 2{a^2}}}{{2.\dfrac{{2{a^2}}}{3}}} = - \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\angle \left[ {\left( {BA'C} \right);\left( {DA'C} \right)} \right] = \arccos \dfrac{1}{2} = {60^0}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.