Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Tính góc giữa (BA'C) và (DA’C).

Câu hỏi số 406018:

Vận dụng

A. \(90^o\)

B. \(45^o\)

C. \(30^o\)

D. \(60^o\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406018

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

+ Xét tam giác BA’C và tam giác DA’C có:

BC = DC = a,

\(BA' = DA' = a\sqrt 2 \) (do ABB’A’ và ADD’A’ là các hình vuông cạnh a)

A’C chung

\( \Rightarrow \Delta BA'C = \Delta DA'C\,\,\,\left( {c.c.c} \right)\).

\( \Rightarrow \angle BCA' = \angle DCA'\).

+ Trong (BA’C) kẻ \(BM \bot A'C\,\,\left( {M \in A'C} \right)\).

+ Xét \(\Delta BCM\) và \(\Delta DCM\) có:

BC = DC

\(\angle BCA' = \angle DCA'\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

MC chung

\( \Rightarrow \Delta BCM = \Delta DCM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle BMC = \angle DMC = {90^0}\) và \(BM = DM\).

\( \Rightarrow DM \bot A'C\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BA'C} \right) \cap \left( {DA'C} \right)\\BM \subset \left( {BA'C} \right);\,\,BM \bot A'C\\DM \subset \left( {DA'C} \right);\,\,DM \bot A'C\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {BA'C} \right);\left( {DA'C} \right)} \right] = \angle \left( {BM;DM} \right)\).

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow BC \bot A'B\) \( \Rightarrow \Delta BA'C\) vuông tại B.

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông A’BC có: \(BM = \dfrac{{A'B.BC}}{{\sqrt {A'{B^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = DM\).

+ Áp dụng định lí Cosin trong tam giác BDM có:

\(\cos \angle BMD = \dfrac{{B{M^2} + D{M^2} - B{D^2}}}{{2BM.DM}} = \dfrac{{\dfrac{{2{a^2}}}{3} + \dfrac{{2{a^2}}}{3} - 2{a^2}}}{{2.\dfrac{{2{a^2}}}{3}}} = - \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\angle \left[ {\left( {BA'C} \right);\left( {DA'C} \right)} \right] = \arccos \dfrac{1}{2} = {60^0}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.