Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} - 2}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x \ne - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = - 1\end{array} \right.\) tại \(x = - 1\) là:
Câu 406065: Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} - 2}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x \ne - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = - 1\end{array} \right.\) tại \(x = - 1\) là:
A. \( - \dfrac{1}{4}\)
B. \(0\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. 1
- Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = - 1\).
- Tính \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\).
-
Đáp án : A(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} {\rm{\;}} - 2}}{{x + 1}}\).
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + x + 4 - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2}} = 0 = f\left( { - 1} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho liên tục tại \(x = - 1\).
Ta có:
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} {\rm{\;}} - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + x + 4 - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{x}{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2}} = \dfrac{{ - 1}}{4}\end{array}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com