Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} -

Câu hỏi số 406065:

Vận dụng

Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} - 2}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x \ne - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = - 1\end{array} \right.\) tại \(x = - 1\) là:

A. \( - \dfrac{1}{4}\)

B. \(0\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. 1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406065

Phương pháp giải

- Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = - 1\).

- Tính \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} {\rm{\;}} - 2}}{{x + 1}}\).

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + x + 4 - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2}} = 0 = f\left( { - 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho liên tục tại \(x = - 1\).

Ta có:

\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} {\rm{\;}} - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + x + 4 - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{x}{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2}} = \dfrac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.