Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)\). Xác định m để đường thẳng \(d:\,\,y =

Câu hỏi số 406066:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)\). Xác định m để đường thẳng \(d:\,\,y = 2x + m\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại A và B song song với nhau.

A. \(m = - 2\)

B. \(m = 2\)

C. \(m = 1\)

D. \(m = - 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406066

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

- Xác định hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B.

- Hai tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ne 1\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m\\ \Leftrightarrow x + 1 = 2x\left( {x - 1} \right) + m\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 1 = 2{x^2} - 2x + mx - m\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 2x + m\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4.2\left( { - m - 1} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 + 8m + 8 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 17 > 0\) (luôn đúng).

Gọi \({x_A},\,\,{x_B}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) \(\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)\), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({x_A} + {x_B} = \dfrac{{3 - m}}{2};\) \({x_A}{x_B} = \dfrac{{ - m - 1}}{2}\).

Xét hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) ta có \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) nên hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là: \({k_A} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}\), \({k_B} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_B} - 1} \right)}^2}}}\).

Để tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại A và B song song với nhau thì \({k_A} = {k_B}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_B} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_A} - 1} \right)^2} = {\left( {{x_B} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} - 1 = {x_B} - 1\\{x_A} - 1 = - {x_B} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B}\,\,\,\left( {ktm\,\,do\,\,{x_A} \ne {x_B}} \right)\\{x_A} + {x_B} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - m}}{2} = 2 \Leftrightarrow 3 - m = 4 \Leftrightarrow m = - 1\,.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.