Tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng

Câu hỏi số 406072:

Vận dụng

Tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 là:

A. \(\left( {\dfrac{1}{4}; - \dfrac{4}{3}} \right)\)

B. \(\left( { - \dfrac{1}{4}; - \dfrac{4}{5}} \right)\)

C. \(\left( {\dfrac{3}{4}; - 4} \right)\)

D. \(\left( { - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{7}} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406072

Phương pháp giải

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{1}{{a - 1}}} \right)\) với \(a \ne 1\) là điểm thuộc đồ thị.

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.

+ Tìm giao điểm của đường thẳng tiếp tuyến với các trục tọa độ.

+ Tính độ dài OA, OB. Sử dụng công thức tính diện tích \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB\).

Giải chi tiết

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{1}{{a - 1}}} \right)\) với \(a \ne 1\) là điểm thuộc đồ thị.

+ Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\)có dạng:

\(\left( d \right):y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{1}{{a - 1}}\)

+ Cho \(y = 0 \Leftrightarrow 0 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{1}{{a - 1}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 1\left( {x - a} \right) + 1.\left( {a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - a = a - 1 \Leftrightarrow x = 2a - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Ox = A\left( {2a - 1;0} \right)\)

+ Cho \(x = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{a}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{a - 1}} = \dfrac{{2a - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\).

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Oy = B\left( {0;\dfrac{{2a - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right)\)

Do \(A \ne B\) nên \(2a - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \dfrac{1}{2}\).

Theo giả thiết ta có: \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 2\)\( \Leftrightarrow OA.OB = 4.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2a - 1} \right|.\left| {\dfrac{{2a - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {2a - 1} \right)^2} = 4{\left( {a - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {2a - 1 - 2a + 2} \right)\left( {2a - 1 + 2a - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4a - 3 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{4}.\end{array}\)

Vậy \(M\left( {\dfrac{3}{4}; - 4} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.