Giải hệ phương trình (x, y ∈ R)

Câu hỏi số 40771:

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} y^2 + 3y^2 + y + 4x^2 - 22x +21= (2x + 1)\sqrt{2x - 1}\: \: (1) & \\ 2x^2 - 11x + 9 = 2y \: \: (2)& \end{matrix}\right.$

(x, y ∈ R)

A. (1; 0) và (-5; -2)

B. ( -1; 0) và (5; 2)

C. (1; 0) và (5; -2)

D. (1; 0) và (5; 2)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40771

Giải chi tiết

Điều kiện: x ≥ $\frac{1}{2}$

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) nhân với 2 ta được:

y³ + 3y² + y + 3 = (2x + 1) $\sqrt{2x - 1}$ - 4y

⇔ y³ + 3y² + 5y + 3 = (2x + 1) $\sqrt{2x - 1}$

⇔ y³ + 3y² + 3y + 1 + 2y + 2 = (2x – 1 + 2) $\sqrt{2x - 1}$

⇔ (y + 1)³ + 2(y + 1) = $(\sqrt{2x - 1})^3$ + 2 $\sqrt{2x - 1}$ (*)

Xét hàm số f(t) = t³ + 2t , với t ∈ R

Ta có f'(t) = 3t² + 2 > 0 ∀t ∈ R => f(t) đồng biến trên R.

Do đó (*) <=> f(y + 1) = f( $\sqrt{2x - 1}$ ) <=> y = $\sqrt{2x - 1}$ - 1

Thế y vào phương trình (2) ta được:

2x² - 11x + 9 = 2 $\sqrt{2x - 1}$ - 2 <=> 2 $\sqrt{2x - 1}$ = 2x² - 11x + 11

<=> 4(2x - 1) = (2x² -11x + 11)² (**) với 2x² -11x + 11 ≥ 0

(**) <=> 4x⁴ – 44x³ + 165x² – 250x² + 125 = 0

<=> (x - 1)(4x³ – 40x² + 125x - 125) = 0

<=> (x – 1)(x – 5)(4x² – 20x + 25) = 0

Giải phương trình thì có x = 1 hoặc x = 5 thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Với x = 1 thì y = 0.

Với x = 5 thì y = 2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; 0) và (5; 2).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.