Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi

Câu hỏi số 407939:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi I, M lần lượt là trung điểm SC, AB.

a. Chứng minh \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\).

b. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407939

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\a\parallel b\end{array} \right. \Rightarrow b \bot \left( P \right)\).

b) Trong (ABCD) kẻ \(OH \bot CM\), chứng minh \(IH \bot CM\).

Sử dụng định lí Cosin trong tam giác ACM tính \(\cos \angle ACM\).

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính OH.

Sử dụng định lí Pytago tính IH.

Giải chi tiết

a) Vì OI là đường trung bình của tam giác SAC nên OI // SA.

+ \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\OI\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow OI \bot \left( {ABCD} \right)\).

b) Trong (ABCD) kẻ \(OH \bot CM\,\,\left( {H \in CM} \right)\) ta có:

+ \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CM\\IO \bot CM\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {OHI} \right) \Rightarrow CM \bot IH\).

\( \Rightarrow {d_{\left[ {I;CM} \right]}} = IH\).

+ \(\Delta ACM\): \(AC = a\sqrt 2 \), \(AM = \dfrac{a}{2}\), \(CM = \sqrt {B{M^2} + B{C^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \angle ACM = \dfrac{{A{C^2} + C{M^2} - A{M^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{a^2} + \dfrac{{5{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}}{{2.a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \sin \angle ACM = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\angle ACM} = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\).

+ \(\Delta OHC:\,\,OH = OC.\sin \angle ACM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{{10}}\).

+ \(\Delta IOH\): \(IH = \sqrt {O{H^2} + I{O^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{20}} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\).

Vậy \({d_{\left[ {I;CM} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\).

Chú ý khi giải

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.