Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với \(\angle BAD = {120^0},\,\,BD = a\), SA vuông góc với

Câu hỏi số 407948:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với \(\angle BAD = {120^0},\,\,BD = a\), SA vuông góc với đáy. Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng \({60^0}\). Tính:

a) \({d_{\left[ {S;\left( {ABCD} \right)} \right]}}\)

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}}\)

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}}\)

A. a) \({d_{\left[ {S;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{20}}\).

B. a) \({d_{\left[ {S;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{20}}\).

C. a) \({d_{\left[ {S;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{20}}\).

D. a) \({d_{\left[ {S;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407948

Phương pháp giải

a) \({d_{\left[ {O;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = SA\)

Xác định góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính SA.

b) Trong (SAM) (với M là trung điểm của BC) dựng \(AH \bot SM\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AH.

c) Gọi \(O = AC \cap BD\). Trong (SAO) kẻ \(AK \bot SO\), chứng minh \(AK \bot \left( {SBD} \right)\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AK.

Giải chi tiết

a) \({d_{\left[ {O;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = SA\).

Gọi \(O = AC \cap BD\), \(BD = a \Rightarrow BO = \dfrac{a}{2}\).

+ \(\Delta ABC\): \(AB = BC\) (do ABCD là hình thoi), \(\angle ABC = {180^0} - \angle BAD = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều.

Gọi M là trung điểm BC \( \Rightarrow BO = AM = \dfrac{a}{2}\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA = {60^0}\).

+ \(\Delta SAM\): \(SA = AM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \({d_{\left[ {S;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

b) Trong (SAM) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = AH\).

+ \(\Delta SAM\): \(AH = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

c) Trong (SAO) kẻ \(AK \bot SO\,\,\left( {K \in SO} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AK\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SO\\AK \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)\).

\( \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = AK\).

+ \(\Delta ABC\) đều cao \(BO = \dfrac{a}{2}\); \(BO = \dfrac{{AC\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = \dfrac{{2BO}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

+ \(\Delta SAO\): \(AK = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} }} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{20}}\).

Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{20}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.