Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. SA = 2a và

Câu hỏi số 407947:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. SA = 2a và vuông góc với đáy. Tính:

a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}}\)

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}}\)

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}}\)

A. a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

B. a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

C. a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

D. a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407947

Phương pháp giải

a) Trong (SAB) kẻ \(AH \bot SB\) \(\left( {H \in SB} \right)\). Chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AH.

b) Chứng minh \(AC \bot CD\). Trong (SAC) kẻ \(AK \bot SC\) \(\left( {K \in SC} \right)\). Chứng minh \(AK \bot \left( {SCD} \right)\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AK.

c) Trong (ABCD) kẻ \(AM \bot BD\,\,\left( {M \in BD} \right)\). Trong (SAM) kẻ \(AI \bot SM\,\,\left( {I \in SM} \right)\). Chứng minh \(AI \bot \left( {SBD} \right)\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AI.

Giải chi tiết

a) Trong (SAB) kẻ \(AH \bot SB\) \(\left( {H \in SB} \right)\).

+ \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = AH\end{array}\)

+ \(\Delta SAB\): \(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

b) Gọi E là trung điểm của AD \( \Rightarrow \) ABCE là hình vuông \( \Rightarrow CE = AB = a = \dfrac{1}{2}AD\).

\( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại C \( \Rightarrow AC \bot CD\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong (SAC) lẻ \(AK \bot SC\,\,\left( {K \in SC} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SC\\AK \bot CD\,\,\left( {CD \bot \left( {SAC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = AK\).

+ \(\Delta ABC:\,\,AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \).

+ \(\Delta SAC\): \(AK = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{2a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

c) Trong (ABCD) kẻ \(AM \bot BD\,\,\left( {M \in BD} \right)\). Trong (SAM) kẻ \(AI \bot SM\,\,\left( {I \in SM} \right)\).

+ \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BD \bot AI\\\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BD\\AI \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SBD} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = AI\).

+ \(\Delta ABD:\) \(AM = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

+ \(\Delta SAE\): \(AI = \dfrac{{2SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{2a.\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt {4{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.