Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {{z^2} - 2iz - 2} \right|\) và số phúc \(w

Câu hỏi số 408274:

Vận dụng cao

Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {{z^2} - 2iz - 2} \right|\) và số phúc \(w = z + 2 - 4i\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| w \right|\) là:

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(\sqrt {10} \)

C. \(1 + \sqrt 2 \)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:408274

Phương pháp giải

- Đưa các biểu thức trong môđun về dạng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2}\).

- Sử dụng công thức \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\).

- Đưa phương trình về dạng tích, chia các trường hợp.

- Đặt \(w = a + bi\), suy ra số phức z, biến đổi và tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {{z^2} - 2iz - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2z + 1 + 1} \right| = \left| {{z^2} - 2iz + {i^2} - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + 1} \right)}^2} - {i^2}} \right| = \left| {{{\left( {z - i} \right)}^2} - {1^2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z + 1 - i} \right|\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\left| {z - i + 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - i + 1} \right|\left( {\left| {z + 1 + i} \right| - \left| {z - i - 1} \right|} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z - i + 1} \right| = 0\\\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = i - 1\\\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(z = i - 1 \Rightarrow w = i - 1 + 2 - 4i = 1 - 3i\), khi đó \(\left| w \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).

TH2: \(\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\) (*).

Đặt \(w = z + 2 - 4i = a + bi\) \( \Rightarrow z = \left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i\).

Thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i - i - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 5} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 3} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 5} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2a + 1 + 10b + 25 = - 6a + 9 + 6b + 9\\ \Leftrightarrow 4a + 4b + 8 = 0\\ \Leftrightarrow a + b + 2 = 0\end{array}\)

Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng \(d:\,\,x + y + 2 = 0\).

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức w, \(M \in d\).

Khi đó ta có \(\left| w \right| = OM \Rightarrow {\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} = d\left( {O;d} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {0 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

Kết hợp 2 TH ta có \({\left| w \right|_{\min }} = \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.