Cho hàm số \(g\left( x \right)\) có đạo hàm với mọi x và thỏa mãn \(g\left( 0 \right) = 1\)

Câu hỏi số 408273:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(g\left( x \right)\) có đạo hàm với mọi x và thỏa mãn \(g\left( 0 \right) = 1\) và

\({2^{g'\left( x \right)}} + {\log _2}\left[ {g'\left( x \right) + 2x} \right] = 1 + {4^{g\left( x \right) + {x^2} - x}} + {\log _2}\left( {g\left( x \right) + {x^2}} \right)\).

Tính \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} \).

A. \(\dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{5}{6}\)

B. \({e^2} - \dfrac{9}{8}\)

C. \(\dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{{11}}{{24}}\)

D. \({e^2} - \dfrac{{25}}{{24}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:408273

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^{g'\left( x \right)}} + {\log _2}\left[ {g'\left( x \right) + 2x} \right] = 1 + {4^{g\left( x \right) + {x^2} - x}} + {\log _2}\left( {g\left( x \right) + {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{g'\left( x \right)}} + {\log _2}\left[ {g'\left( x \right) + 2x} \right] = {2^{2g\left( x \right) + 2{x^2} - 2x}} + {\log _2}\left( {2g\left( x \right) + 2{x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{g'\left( x \right) + 2x}} + {2^{2x}}.{\log _2}\left[ {g'\left( x \right) + 2x} \right] = {2^{2g\left( x \right) + 2{x^2}}} + {2^{2x}}.{\log _2}\left( {2g\left( x \right) + 2{x^2}} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + {2^{2x}}.{\log _2}t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + {2^{2x}}.\dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( {g'\left( x \right) + 2x} \right) = f\left( {2g\left( x \right) + 2{x^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow g'\left( x \right) + 2x = 2g\left( x \right) + 2{x^2}\\ \Leftrightarrow 2g\left( x \right) - g'\left( x \right) = 2x - 2{x^2}\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(g\left( x \right) = a{e^{kx}} + b{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) ta có: \(g'\left( x \right) = ak{e^{kx}} + 2bx\).

Thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}2a{e^{kx}} + 2b{x^2} - ak{e^{kx}} - 2bx = 2x - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow \left( {2a - ak} \right){e^{kx}} + 2b{x^2} - 2bx = 2x - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - ak = 0\\2b = - 2\\ - 2b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\k = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó, \(g\left( x \right) = a{e^{2x}} - {x^2}\).

Lại có \(g\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow g\left( x \right) = {e^{2x}} - {x^2}\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{1}{2}{e^{2x}} - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{5}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.