Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} +

Câu hỏi số 408276:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + mx + 16} \right)\) với mọi x thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + x - 2} \right)\) có đúng k điểm cực trị với k là số nguyên lẻ?

A. \(8\)

B. \(9\)

C. \(10\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:408276

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\{x^2} + mx + 16 = 0\end{array} \right.\) (không xét nghiệm kép \(x = 0\)).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + x - 2} \right)\) ta có

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)f'\left( {{x^2} + x - 2} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\f'\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\{x^2} + x - 2 = - 2\\{\left( {{x^2} + x - 2} \right)^2} + m\left( {{x^2} + x - 2} \right) + 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\x = 0\\x = 2\\{\left( {{x^2} + x - 2} \right)^2} + m\left( {{x^2} + x - 2} \right) + 16 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} + x - 2\), khi đó phương trình (*) trở thành: \({t^2} + mt + 16 = 0\) (**), có \(\Delta = {m^2} - 64\).

TH1: Phương trình (**) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Rightarrow {m^2} - 64 \le 0 \Leftrightarrow - 8 \le m \le 8\), khi đó phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm bội lẻ phân biệt, khi đó hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị (Thỏa mãn).

TH2: Phương trình (**) có 2 nghiệm t phân biệt \( \Rightarrow {m^2} - 64 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 8\\m < - 8\end{array} \right.\).

- Nếu 2 nghiệm t đều cho ra nghiệm kép x, thì nghiệm kép này không phải là cực trị => Hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị (Thỏa mãn).

- Nếu 1 nghiệm t cho ra nghiệm kép x, nghiệm còn lại cho ra 2 nghiệm x phân biệt hoặc không cho nghiệm x (Tính cả trường hợp nghiệm x trùng với các nghiệm \(x = - \frac{1}{2}\), \(x = 0\),\(x = 1\)) thì phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) vẫn có số nghiệm bội lẻ là số lẻ => (Thỏa mãn).

Kết hợp các TH \( \Rightarrow m \in \mathbb{R}\).

Mà m là số nguyên dương \( \Rightarrow m \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy có vô số các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.