Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(\ln \left( {2x} \right) + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y}
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(\ln \left( {2x} \right) + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} - 2x + 2y\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
\(\begin{array}{l}\ln \left( {2x} \right) + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right)\\ \Leftrightarrow \ln \left( {2xy} \right) \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right)\\ \Leftrightarrow 2xy \ge {x^2} + y\\ \Leftrightarrow y\left( {2x - 1} \right) \ge {x^2}\end{array}\)
TH1: \(0 < x \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < 2x \le 1\).
\( \Rightarrow {x^2} + y \le 2xy \le y \Leftrightarrow {x^2} \le 0\) (Vô lí).
TH2: \(x > \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x - 1 > 0\), khi đó ta có \(y \ge \dfrac{{{x^2}}}{{2x - 1}}\).
\( \Rightarrow P = {x^2} - 2x + 2y \ge {x^2} - 2x + \dfrac{{2{x^2}}}{{2x - 1}}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + \dfrac{{2{x^2}}}{{2x - 1}}\) trên \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2x - 2 + \dfrac{{4x.\left( {2x - 1} \right) - 2{x^2}.2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 2x - 2 + \dfrac{{8{x^2} - 4x - 4{x^2}}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 2x - 2 + \dfrac{{4{x^2} - 4x}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right) + \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {2 + \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}} \right]\end{array}\)
Với \(x > \dfrac{1}{2}\) thì \(\dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow 2 + \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} > 0\), do đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(f\left( x \right) \ge 1\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow P \ge 1\,\,\,\forall x > \dfrac{1}{2}\).
Vậy \({P_{\min }} = 1 \Leftrightarrow x = 1.\)
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
