Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \dfrac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ \({x_1},{x_2}\)sao cho \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\).
Câu 409264: Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \dfrac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ \({x_1},{x_2}\)sao cho \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\).
A. \(1\).
B. \(0\).
C. \(3\) .
D. \(2\).
Quảng cáo
- Tìm đạo hàm của hàm số.
- Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị: Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
- Sử dụng định lí Viét để tìm mối quan hệ giữa hai cực trị \({x_1};\,\,{x_2}\) của hàm số.
- Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm m.
-
Đáp án : A(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \dfrac{2}{3}\) có đạo hàm là \(y' = 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)\)
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - mx - 3{m^2} + 1 = 0\) (1)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta {\rm{\;}} = {m^2} + 12{m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > \dfrac{2}{{\sqrt {13} }}}\\
{m < {\rm{\;}} - \dfrac{2}{{\sqrt {13} }}}
\end{array}} \right.\)Khi đó hai điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) của hàm số chính là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Áp dụng định lý Viét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2}\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 1 - 3{m^2} + 2m = 1\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn A.
Chú ý:
Sau khi tìm được m cần đối chiếu với điều kiện để loại các giá trị không thỏa mãn, tránh chọn nhầm đáp án D.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
