Cho phương trình \({9^x} - (2m + 3){.3^x} + 81 = 0\) (\(m\)là tham số thực ).Giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\) thuộc khoảng nào sau đây

Câu 409272: Cho phương trình \({9^x} - (2m + 3){.3^x} + 81 = 0\) (\(m\)là tham số thực ).Giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\) thuộc khoảng nào sau đây

A. \(\left( {5;10} \right)\)

B. \(\left( {0;5} \right)\)

C. \(\left( {10;15} \right)\)

D. \(\left( {15; + \infty } \right)\)

Câu hỏi : 409272

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = {3^x} > 0\), đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn t.

- Tìm điều kiện của phương trình bậc hai ẩn t để phương trình ban đầu có 2 nghiệm x phân biệt.

- Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai ẩn t.

- Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm m.

Đáp án : C
(13) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \({9^x} - \left( {2m + 3} \right){.3^x} + 81 = 0\)

Đặt \({3^x} = t > 0\), khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {2m + 3} \right)t + 81 = 0\,\,\left( * \right).\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm dương phân biệt.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m + 3} \right)^2} - 4.81 > 0\\2m + 3 > 0\\81 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + 12m + 9 - 324 > 0\\m > - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + 12m - 315 > 0\\m > - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{15}}{2}\\m < - \dfrac{{21}}{2}\end{array} \right.\\m > - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{{15}}{2}\end{array}\)

Khi đó gọi \({t_1},\,\,\,{t_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), áp dụng định lý Viét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 2m + 3\\{t_1}.{t_2} = 81\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x_1}^2 + x_1^2 = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 10\\ \Rightarrow {\left( {{{\log }_3}{t_1} + {{\log }_3}{t_2}} \right)^2} - 2{\log _3}{t_1}.{\log _3}{t_2} = 10\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\log }_3}\left( {{t_1}{t_2}} \right)} \right]^2} - 2{\log _3}{t_1}.{\log _3}\dfrac{{81}}{{{t_1}}} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}81} \right)^2} - 2{\log _3}{t_1}\left( {{{\log }_3}81 - {{\log }_3}{t_1}} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 16 - 2{\log _3}{t_1}\left( {4 - {{\log }_3}{t_1}} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{{\log }_3}{t_1}} \right)^2} - 8.{\log _3}{t_1} + 6 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}{t_1} = 3\\{\log _3}{t_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 27\\{t_2} = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó ta có: \({t_1} + {t_2} = 30 \Rightarrow 2m + 3 = 30 \Leftrightarrow m = 13,5 \in \left( {10;15} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.