ID:41059) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và = 600. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).

Câu hỏi số 41059:

ID:41059)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và $\widehat{ABC}$ = 60⁰. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 60⁰. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).

A. V_S.ABCD = 12√3a³, cos[ AO; (SCD)] = $\dpi{80} \frac{3}{4}$

B. V_S.ABCD = 2√3a³, cos[ AO; (SCD)] = $\dpi{80} \frac{1}{3}$

C. V_S.ABCD = a³√3; cos[ AO; (SCD)] = $\dpi{80} \frac{1}{3}$

D. V_S.ABCD = 3√3a³, cos[ AO; (SCD)] = $\dpi{80} \frac{3}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41059

Giải chi tiết

Ta có: S_ABCD = 2S_ABC = 4a.4a.sin60⁰ = 8a²√3. Từ giả thiết AH = HO = $\dpi{80} \frac{OC}{2}$

Trong (ABCD), gọi L là chân đường cao hạ từ O của ∆OCD.

Kẻ KH //OL (K ∈ CD) => HK ⊥ CD (1)

Mà H là hình chiếu của S trên (ABCD) => SH ⊥ CD (2)

Từ (1), (2) => CD ⊥ (SHK)

Do góc giữa (SCD) và (ABCD) là $\widehat{SKH}$ = 60⁰.

Tam giác OCD vuông tại O có $\widehat{OCD}$ = 60⁰. => OL = OC. sin60⁰= a√3

∆HCK có OL // HK => $\dpi{80} \frac{OL}{HK}$ = $\dpi{80} \frac{OC}{HC}$ = $\dpi{80} \frac{2}{3}$

=> HK = $\frac{3a\sqrt{3}}{2}$

∆ SHK vuông tại H => SH = HK. tan60⁰ = $\frac{3a\sqrt{3}}{2}$ .√3 = $\dpi{80} \frac{9a}{2}$ .

Vậy V_S.ABCD = $\frac{1}{3}$ .SH.S_ABCD = $\frac{1}{3}$ . $\dpi{80} \frac{9a}{2}$ . 8√3a² = 12√3a³

*Tính góc giữa AO và (SCD).

Nhận thấy góc giữa AO và (SCD) cũng chính là góc giữa HC và (SCD).

Trong (SHK) kẻ HM ⊥ KS (M ∈ SG) => HM ⊥ (SCD) (do CD ⊥ (SHK))

=> M là hình chiếu của H trên (SCD). Mà AO ∩ (SCD) = C

=> MC là hình chiếu của AO trên (SCD).

=> Góc giữa AO và (CSD) là $\widehat{HCM}$

Tam giác HKM vuông tại M => HM = HK. sin60⁰= $\dpi{80} \frac{9a}{4}$

Tam giác HCM vuông tại M => sin $\widehat{HCM}$ = $\dpi{80} \frac{HM}{HC}$ = $\dpi{110} \frac{\frac{9a}{4}}{3a}$ = $\dpi{80} \frac{3}{4}$

=> cos $\widehat{HCM}$ = $\dpi{80} \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.