Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 41060:

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn a⁵ + b⁵ = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)}$ .

A. - $\dpi{80} \frac{4}{8}$

B. $\dpi{80} \frac{4}{9}$

C. - $\dpi{80} \frac{9}{4}$

D. $\dpi{80} \frac{9}{4}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41060

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a⁵ + a⁵ + 1 + 1+ 1 ≥ 5 $\sqrt[5]{a^5 . a^5 . 1 . 1 . 1}$ = 5a² .

b⁵ + b⁵ + 1 + 1 + 1 ≥ 5 $\sqrt[5]{b^5 . b^5 . 1 . 1 . 1}$ = 5b² .

=> 2a⁵ + 2b⁵ + 6 ≥ 5a² + 5b² <=> a² + b² ≤ 2

Do đó P ≥ $\frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy.2}$ = $\frac{x}{2y}$ + $\frac{y}{x}$ + $\frac{12}{xy}$

Xét hàm số f(x) = $\frac{x}{2y}$ + $\frac{y}{x}$ + $\frac{12}{xy}$ với x ∈ (0; 4] và y là tham số

Ta có f'(x) = $\frac{x^2 - 2y^2 - 24}{2x^2y}$ ≤ $\dpi{80} \frac{4^{2}-2.0^{2}-24}{2x^{2}y}$ $\frac{-8}{2x^2y}$ < 0 ∀x, y ∈ (0; 4]

=> f(x) nghịch biến trên (0; 4] => f(x) ≥ f(4)

=> P ≥ f(4) = $\frac{2}{y}$ + $\frac{y}{4}$ + $\frac{3}{y}$ = $\frac{y}{4}$ + $\frac{5}{y}$ = g(y) với y ∈ (0; 4]

g'(y) = $\frac{-5}{y^2}$ + $\frac{1}{4}$ ≤ $\frac{1}{4}$ + $\frac{-5}{16}$ = $\frac{-1}{16}$ < 0 ∀y ∈ (0; 4]

=> g(y) nghịch biến trên (0; 4] => g(y) ≥ g(4) = $\dpi{80} \frac{5}{4}$ + 1 = $\dpi{80} \frac{9}{4}$

vậy min P = $\dpi{80} \frac{9}{4}$ khi a = b = 1 và x = y = 4 .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.