Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = +

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 41143:

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$ + $\sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}$ - ( $\frac{x}{x^{2}+1}$ + $\frac{y}{y^{2}+1}$ ).

A. min P = √5 + $\frac{4}{5}$

B. min P = √5 - $\frac{4}{5}$

C. min P = 2√5 + $\frac{4}{5}$

D. min P = 2√5 - $\frac{4}{5}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41143

Giải chi tiết

Ta có : 0 < $\sqrt{xy}$ ≤ $\frac{x+y}{2}$ ≤ $\frac{1}{2}$

$\sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}}$ ≥ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (2x + $\frac{2}{x}$ );

$\sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}}$ ≥ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (2y + $\frac{2}{y}$ )

P ≥ $\frac{2}{\sqrt{5}}$ (x + y + $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ ) ≥ $\frac{4}{\sqrt{5}}(\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}})$

≥ $\frac{4}{\sqrt{5}}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+4\sqrt{xy}-3{\sqrt{xy}})$ ≥ $\frac{4}{\sqrt{5}}$ (2√4 - $\frac{3}{2}$ ) = 2√5

$\frac{1}{x^{2}+1}$ = $\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$ ≤ $\frac{1}{x+\frac{3}{4}}$ = $\frac{4}{4x+3}$

Tương tự ta có:

$\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}$ ≤ $\frac{4x}{4x+3}+\frac{4y}{4y+3}$ = 2 - 3( $\frac{1}{4x+3}+\frac{1}{4y+3}$ )

≤ 2 - 3 $\frac{4}{4x+4y+6}$ ≤ 2 - $\frac{3}{1}.\frac{2}{5}$ = $\frac{4}{5}$

Vậy P ≥ 2√5 - $\frac{4}{5}$ . Dấu '=' xảy ra khi x = y = $\frac{1}{2}$

Vậy min P = 2√5 - $\frac{4}{5}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.