Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng \({30^0}\). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:

Câu 412821: Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng \({30^0}\). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:

A. \(\sqrt 5 \pi \)

B. \(\dfrac{{10\sqrt 2 \pi }}{3}\)

C. \(\dfrac{{8\sqrt 3 \pi }}{3}\)

D. \(\dfrac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\)

Câu hỏi : 412821

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Giả sử mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông \(SAB\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\), chứng minh \(OH \bot \left( {SAB} \right)\).

- Xác định góc giữa \(SO\) và \(\left( {SAB} \right)\) là góc giữa \(SO\) và hình chiếu của \(SO\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

- Dựa vào diện tích tam giác \(SAB\), tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(SO,\,\,OA\).

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Giả sử mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông \(SAB\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow OM \bot AB\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow SH\) là hình chiếu của \(SO\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SO;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SO;SH} \right) = \angle HSO = \angle MSO = {30^0}\).

Theo bài ra ta có \({S_{\Delta SAB}} = 4\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}SA.SB = 4 \Leftrightarrow S{A^2} = 8 \Leftrightarrow SA = 2\sqrt 2 \).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) \( \Rightarrow AB = SA\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 4\) \( \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2}AB = 2\).

Xét tam giác vuông \(SOM\)có: \(\left\{ \begin{array}{l}SO = SM.\cos {30^0} = 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 = h\\OM = SM.\sin {30^0} = 2.\dfrac{1}{2} = 1\end{array} \right.\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAM\) có:

\(OA = \sqrt {O{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 = R\).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}.\sqrt 3 = \dfrac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.