Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và

Câu hỏi số 412821:

Vận dụng

Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng \({30^0}\). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:

A. \(\sqrt 5 \pi \)

B. \(\dfrac{{10\sqrt 2 \pi }}{3}\)

C. \(\dfrac{{8\sqrt 3 \pi }}{3}\)

D. \(\dfrac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412821

Phương pháp giải

Giả sử mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông \(SAB\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\), chứng minh \(OH \bot \left( {SAB} \right)\).

- Xác định góc giữa \(SO\) và \(\left( {SAB} \right)\) là góc giữa \(SO\) và hình chiếu của \(SO\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

- Dựa vào diện tích tam giác \(SAB\), tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(SO,\,\,OA\).

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông \(SAB\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow OM \bot AB\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow SH\) là hình chiếu của \(SO\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SO;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SO;SH} \right) = \angle HSO = \angle MSO = {30^0}\).

Theo bài ra ta có \({S_{\Delta SAB}} = 4\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}SA.SB = 4 \Leftrightarrow S{A^2} = 8 \Leftrightarrow SA = 2\sqrt 2 \).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) \( \Rightarrow AB = SA\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 4\) \( \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2}AB = 2\).

Xét tam giác vuông \(SOM\)có: \(\left\{ \begin{array}{l}SO = SM.\cos {30^0} = 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 = h\\OM = SM.\sin {30^0} = 2.\dfrac{1}{2} = 1\end{array} \right.\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAM\) có:

\(OA = \sqrt {O{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 = R\).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}.\sqrt 3 = \dfrac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.