Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| + 3z + 3\overline z \le 0\) có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?

Câu 412935: Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| + 3z + 3\overline z \le 0\) có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?

A. \(25\)

B. \(29\)

C. \(36\)

D. \(24\)

Câu hỏi : 412935

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = a + bi\) thay vào điều kiện bài cho tìm mối quan hệ của a, b.

- Từ đó suy ra các bộ số nguyên (a;b) thỏa mãn.

Đáp án : D
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{z^2}} \right| + 3z + 3\overline z \le 0\\ \Rightarrow {\left| z \right|^2} + 3\left( {z + \overline z } \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)^2} + 3\left( {a + bi + a - bi} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 3.2a \le 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 6a \le 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 9 + {b^2} \le 9\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 3} \right)^2} + {b^2} \le 9\end{array}\)

\( \Rightarrow {b^2} \le 9 \Leftrightarrow - 3 \le b \le 3\)

Vì \(b \in \mathbb{Z}\) nên \(b \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\)

+) Với \(b = \pm 3\) thì \({\left( {a + 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = - 3\) nên ta có hai số phức \( - 3 \pm 3i\).

+) Với \(b = \pm 2\) thì

\({\left( {a + 3} \right)^2} + 4 \le 9 \Leftrightarrow {\left( {a + 3} \right)^2} \le 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \sqrt 5 \le a + 3 \le \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow - \sqrt 5 - 3 \le a \le \sqrt 5 - 3\\ \Rightarrow a \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\end{array}\)

Do đó trường hợp này có 10 số phức thỏa mãn.

+) Với \(b = \pm 1\) thì

\({\left( {a + 3} \right)^2} + 1 \le 9 \Leftrightarrow {\left( {a + 3} \right)^2} \le 8\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\sqrt 2 \le a + 3 \le 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow - 2\sqrt 2 - 3 \le a \le 2\sqrt 2 - 3\\ \Rightarrow a \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\end{array}\)

Do đó trường hợp này có 10 số phức thỏa mãn.

+) Với \(b = 0\) thì \({\left( {a + 3} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 6\end{array} \right.\) nên ta có hai số phức thỏa mãn là \(0\) và \( - 6\).

Vậy có tất cả \(2 + 10 + 10 + 2 = 24\) số phức thỏa mãn bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.