Gọi \({m_0}\) là giá trị thực nhỏ nhất của tham số \(m\) sao cho phương trình \(\left( {m - 1}

Câu hỏi số 412936:

Vận dụng cao

Gọi \({m_0}\) là giá trị thực nhỏ nhất của tham số \(m\) sao cho phương trình

\(\left( {m - 1} \right)\log _{\dfrac{1}{3}}^2\left( {x - 3} \right)\)\( - \left( {m - 5} \right){\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) + m - 1 = 0\)

có nghiệm thuộc (3;6). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Không tồn tại \({m_0}\)

B. \({m_0} \in \left( { - 1;\dfrac{4}{3}} \right)\)

C. \({m_0} \in \left( {2;\dfrac{{10}}{3}} \right)\)

D. \({m_0} \in \left( { - 5; - \dfrac{5}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412936

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right)\), tìm điều kiện của t ứng với điều kiện của x đã cho.

- Từ đó tìm m để phương trình ẩn t có nghiệm thỏa mãn điều kiện của t vừa tìm được.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right)\) ta có phương trình: \(\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\) (*)

Với \(x \in \left( {3;6} \right)\) thì \(t = {\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thuộc (3; 6) thì (*) phải có nghiệm thuộc \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

+ TH1: \(m = 1\) thì (*) là \(4t = 0 \Leftrightarrow t = 0\) (TM)

+ TH2: \(m \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 5} \right)^2} - 4{\left( {m - 1} \right)^2}\\ = {m^2} - 10m + 25 - 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right)\\ = - 3{m^2} - 2m + 21\end{array}\)

Để (*) có nghiệm thì \(\Delta \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 3{m^2} - 2m + 21 \ge 0 \Leftrightarrow - 3 \le m \le \dfrac{7}{3}\)

Để (*) có nghiệm thuộc \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) thì \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < {t_1} \le {t_2}\\{t_1} \le - 1 < {t_2}\end{array} \right.\)

+) \( - 1 < {t_1} \le {t_2}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}af\left( { - 1} \right) > 0\\ - 1 < \dfrac{S}{2}\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = \left( {m - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 5} \right).\left( { - 1} \right) + m - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = m - 1 + m - 5 + m - 1 = 3m - 7\end{array}\)

\( \Rightarrow af\left( { - 1} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {3m - 7} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{7}{3}\\m < 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} - 1 < \dfrac{S}{2} \Leftrightarrow - 1 < \dfrac{{m - 5}}{{2\left( {m - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{m - 5}}{{2\left( {m - 1} \right)}} + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{m - 5 + 2m - 2}}{{2\left( {m - 1} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3m - 7}}{{2\left( {m - 1} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{7}{3}\\m < 1\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với \( - 3 \le m \le \dfrac{7}{3}\) ta được \( - 3 \le m < 1\).

+) \({t_1} \le - 1 < {t_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow af\left( { - 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {3m - 7} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le m \le \dfrac{7}{3}\end{array}\)

Kết hợp với \( - 3 \le m \le \dfrac{7}{3}\) và \(m \ne 1\) ta được \(1 < m \le \dfrac{7}{3}\).

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\ - 3 \le m < 1\\1 < m \le \dfrac{7}{3}\end{array} \right. \Rightarrow - 3 \le \le \dfrac{7}{3}\)

Do đó GTNN của m là \({m_0} = - 3 \in \left( { - 5; - \dfrac{5}{2}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.