Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {m + 1} \right)\sqrt { - 2x + 3} - 1}}{{ - \sqrt { - 2x + 3} +

Câu hỏi số 413008:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {m + 1} \right)\sqrt { - 2x + 3} - 1}}{{ - \sqrt { - 2x + 3} + \dfrac{2}{m}}}\) (\(m \ne 0\) và là tham số thực). Tập hợp \(m\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{1}{2};1} \right)\) có dạng \(S = \left( { - \infty ;a} \right) \cup \left( {b;c} \right] \cup \left[ {d; + \infty } \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực. Tính \(P = a - b + c - d\).

A. \( - 3\)

B. \( - 1\)

C. \(0\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413008

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sqrt { - 2x + 3} \ge 0\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Đưa bài toán trở thành: Tập hợp \(m\) để hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{\left( {m + 1} \right)t - 1}}{{ - t + \dfrac{2}{m}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) có dạng \(S = \left( { - \infty ;a} \right) \cup \left( {b;c} \right] \cup \left[ {d; + \infty } \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực. Tính \(P = a - b + c - d\).

- Hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{\left( {m + 1} \right)t - 1}}{{ - t + \dfrac{2}{m}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( t \right) > 0\,\,\forall t \in \left( {a;b} \right)\\\dfrac{2}{m} \notin \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\) với \(\left( {a;b} \right)\) là khoảng giá trị của \(t\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{2}\\\sqrt { - 2x + 3} \ne \dfrac{2}{m}\end{array} \right.\).

Đặt \(t = \sqrt { - 2x + 3} \ge 0\) ta có \(t' = \dfrac{{ - 2}}{{2\sqrt { - 2x + 3} }} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt { - 2x + 3} }} < 0\,\,\forall x \in \left( { - \dfrac{1}{2};1} \right)\).

Ta có: \(t\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 2,\,\,t\left( 1 \right) = 1\), do đó với \(x \in \left( { - \dfrac{1}{2};1} \right)\) thì \(t \in \left( {1;2} \right)\).

Yêu cầu bài toán trở thành: Tập hợp \(m\) để hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{\left( {m + 1} \right)t - 1}}{{ - t + \dfrac{2}{m}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) có dạng \(S = \left( { - \infty ;a} \right) \cup \left( {b;c} \right] \cup \left[ {d; + \infty } \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực. Tính \(P = a - b + c - d\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{2}{m}} \right\}\,\,\left( {m \ne 0} \right)\). Ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{\dfrac{2}{m}\left( {m + 1} \right) - 1}}{{{{\left( { - t + \dfrac{2}{m}} \right)}^2}}}\).

Để hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{\left( {m + 1} \right)t - 1}}{{ - t + \dfrac{2}{m}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\) thì

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f'\left( t \right) > 0\,\,\forall t \in \left( {1;2} \right)\\\dfrac{2}{m} \notin \left( {1;2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m}\left( {m + 1} \right) - 1 > 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m} \le 1\\\dfrac{2}{m} \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{m + 2}}{m} > 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - m}}{m} \le 0\\\dfrac{{2 - 2m}}{m} \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m < 0\\0 < m \le 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow a = - 2,\,\,b = 0,\,\,c = 1,\,\,d = 2\).

Vậy \(P = a - b + c - d = - 2 - 0 + 1 - 2 = - 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.