Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} - m\) nghịch biến trên

Câu hỏi số 413014:

Vận dụng

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} - m\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

A. \(m \ge \dfrac{1}{2}\)

B. \(m < \dfrac{1}{2}\)

C. \(m \le 0\)

D. \(m \ge 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413014

Phương pháp giải

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in D\).

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm \(m\).

+ Biện luận theo \(m\) để xét dấu đạo hàm.

- Bước 3: Kết luận.

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6m{\rm{x}}\) \( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2m\).

Trường hợp 1: \(m < 0\)

Dễ thấy hàm số trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) đồng biến với mọi \(m < 0\) (loại)

Trường hợp 2: \(m = 0\)

Với \(m=0\) thì \(y'=3x^2 \ge 0\) nên hàm số đồng biến trên \(R\).

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) (loại)

Trường hợp 3: \(m > 0\)

Dễ thấy hàm số trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) nghịch biến \( \Leftrightarrow 2m \ge 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\).

Chú ý khi giải

Một số em sẽ bị nhầm khi cho rằng hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \) \(2m < 1 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}\) dẫn đến chọn sai đáp án.

Có thể giải bài toán bằng cách khác:

Ở bước cho \(y' < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) ta có:

\(y' = 3{x^2} - 6mx \le 0,\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow m \ge \dfrac{x}{2},\forall x \in \left( {0;1} \right)\) (do \(x > 0\)).

Lại có \(0 < x < 1 \Leftrightarrow 0 < \dfrac{x}{2} < \dfrac{1}{2}\) nên \(m \ge \dfrac{x}{2},\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.