Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin

Câu hỏi số 413080:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413080

Phương pháp giải

Sử dụng \(A + B + C = {180^0};\) \(\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right);\) \(\cos \alpha = \cos \left( { - \alpha } \right);\) \(\cos \alpha = \sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\)

\(\begin{array}{l} = 2\sin \frac{{2A + 2B}}{2}\cos \frac{{2A - 2B}}{2} + \sin 2C\\ = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + 2\sin C\cos C\end{array}\)

\( = 2\sin \left( {{{180}^0} - \left( {A + B} \right)} \right)\cos \left( {A - B} \right) + 2\sin C\cos C\)

\( = 2\sin C.\cos \left( {A - B} \right) + 2\sin C\cos C\)

\( = 2\sin C\left[ {\cos \left( {A - B} \right) + \cos C} \right]\)

\( = 2\sin C.2\cos \frac{{A - B + C}}{2}.\cos \frac{{A - B - C}}{2}\)

\( = 4\sin C.\cos \frac{{A + C - B}}{2}.\cos \frac{{B + C - A}}{2}\)

Ta có: \(\cos \frac{{A + C - B}}{2} = \sin \left( {{{90}^0} - \frac{{A + C - B}}{2}} \right)\) \( = \sin \left( {\frac{{A + B + C}}{2} - \frac{{A + C - B}}{2}} \right)\)\( = \sin B\) (do \(A + B + C = {180^0}\) )

\(\cos \frac{{B + C - A}}{2} = \sin \left( {{{90}^0} - \frac{{B + C - A}}{2}} \right)\) \( = \sin \left( {\frac{{A + B + C}}{2} - \frac{{B + C - A}}{2}} \right)\)\( = \sin A\) (do \(A + B + C = {180^0}\) )

Từ đó ta có: \(4\sin C.\cos \frac{{A + C - B}}{2}.\cos \frac{{B + C - A}}{2}\)\( = 4\sin A\sin B\sin C\)

Hay \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\)\( = 4\sin A\sin B\sin C\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10