Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = 3\ln \dfrac{a}{b} - \dfrac{5}{6}\), trong đó

Câu hỏi số 413403:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = 3\ln \dfrac{a}{b} - \dfrac{5}{6}\), trong đó \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó \({a^2} - {b^2}\) bằng:

A. \(7\)

B. \(6\)

C. \(9\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413403

Phương pháp giải

- Biến đổi \(\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}} = \dfrac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{B}{{x + 3}}\), tìm \(A,\,\,B\).

- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{{dx}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}} = - \dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{{ax + b}} + C\), \(\int {\dfrac{{dx}}{{ax + b}}} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính \({a^2} - {b^2}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}} = \dfrac{{3x - 1}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \dfrac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{B}{{x + 3}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}} = \dfrac{{A + B\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}} = \dfrac{{Bx + A + 3B}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}B = 3\\A + 3B = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = 3\\A = - 10\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}} = - \dfrac{{10}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{{x + 3}}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = - 10\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} + 3\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = 10.\left. {\dfrac{1}{{x + 3}}} \right|_0^1 + 3\left. {\ln \left| {x + 3} \right|} \right|_0^1\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = 10\left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}} \right) + 3\left( {\ln 4 - \ln 3} \right)\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = 3\ln \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{6}\end{array}\)

Khi đó ta có \(a = 4,\,\,b = 3\).

Vậy \({a^2} - {b^2} = {4^2} - {3^2} = 7\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.