Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{4}{{19}}\) và \(f'\left( x

Câu hỏi số 413407:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{4}{{19}}\) và \(f'\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng:

A. \( - \dfrac{2}{3}\)

B. \( - \dfrac{1}{2}\)

C. \( - 1\)

D. \( - \dfrac{3}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413407

Phương pháp giải

- Biến đổi \(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {\dfrac{{du}}{{{u^2}}}} = - \dfrac{1}{u} + C\).

- Sử dụng giả thiết \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{4}{{19}}\) để tìm hằng số \(C\), từ đó tính \(f\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có: \(f'\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {{x^3}dx} \) \( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C\).

Lại có: \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{4}{{19}}\)\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{f\left( 2 \right)}} = 4 + C \Leftrightarrow \dfrac{{19}}{4} = 4 + C\) \( \Leftrightarrow C = \dfrac{3}{4}\).

Do đó \( - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{4}\).

Thay \(x = 1\) ta có \( - \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\). Vậy \(f\left( 1 \right) = - 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.